■2次関数の最大値・最小値(区間や関数が変わる場合)→ 携帯版
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【例題1】
 右図1は,2次関数y=f(x)=(x−1)2のグラフのうちで0≦x≦tの区間を赤色で示し,他の区間を灰色で示したものです.
t>0のとき,この関数の区間0≦x≦tにおける最小値と最大値を求めてください.
tの値は,初め0.50になっていますが,赤で示したスケールをクリックすると変更できます.)
≪こういう形の問題を初めて学ぶ人へ≫
 「tが変わるからtは変数で,xも変数なのでどう考えてよいか分からない」と当惑している場合,次のように考えてください.
 初めにtを決めます.そのtの値に応じて変数xを考えます.
だから,tは定数,xは変数と考えます
(解説)
○最小値
 tの値を少しずつ大きくしていくと,t=1になるまで,区間の右端(青線で示したところ)x=tのところで最小値になることが分かります.
0<t≦1のとき最小値はf(t)=(t−1)2
 しかし,tの値を1よりも大きくしても,区間0≦x≦tの中では,x=1のときの最小値f(1)=0よりも小さな値は登場しないので,最小値は変わらず0になります.
t>1のとき最小値はf(1)=0
○最大値
ア) tの値を少しずつ大きくした場合,t=2になるまでは,区間の左端(緑線で示したところ)x=0のところで最大値になっています.
0<t≦2のとき最大値はf(0)=1
*) t=2のときは,区間の左端(緑線で示したところ)x=0と区間の右端(青線で示したところ)x=2のところのyの値が等しく,最大値はf(0)=f(2)=1になっています.
この場合分けは,ア)の場合分けのxの値を等号付き不等号にすることにより,ア)の分類に含めることができます.
イ) t>2のときは,区間の左端(緑線で示したところ)x=0よりも区間の右端(青線で示したところ)x=tのところの方がyの値が大きくなります.
t>2のとき最大値はf(t)=(t−1)2
.
*** 区間の左端が固定されていて,右端が動く場合 ***


≪図1≫
tの現在値:0.50

問1t>0のとき,2次関数y=−x2+2xの区間0≦x≦tにおける最大値と最小値を求めてください.

(次のに入るものを下の選択肢で選んでください.暗算ではできません.各自で計算用紙を使ってください.)
0<t<のとき,x=で最大値をとる
t≧のとき,x=で最大値をとる

0<t<のとき,x=で最小値をとる
t≧のとき,x=で最小値をとる

0 1 2 t −t2+2t
0 1 2 t −t2+2t
0 1 2 t −t2+2t
0 1 2 t −t2+2t
0 1 2 t −t2+2t
0 1 2 t −t2+2t
0 1 2 t −t2+2t
0 1 2 t −t2+2t
0 1 2 t −t2+2t
0 1 2 t −t2+2t
0 1 2 t −t2+2t
0 1 2 t −t2+2t

【例題2】
 右図2は,2次関数y=f(x)=(x−1)2のグラフのうちでt≦x≦t+1の区間を赤色で示し,他の区間を灰色で示したものです.
t>0のとき,この関数の区間t≦x≦t+1における最小値と最大値を求めてください.
tの値は,初め−0.5になっていますが,赤で示したスケールをクリックすると変更できます.)
(解説)
○最小値
*)区間の右端t+11になるまではtを少しずつ増やしていくと,右端で最小値になります.
t+1≦1すなわちt≦0のとき,最小値はf(t)=t2
※問題でt>0と指定されているから,以上の事柄は記述の必要なし.
ア)0≦t<1のときは,区間の中に減少の場所と増加の場所があり,x=1のとき最小になります.
0≦t<1のとき,最小値はf(1)=0
イ)1≦tのときは,増加関数になり,左端x=tのとき最小になります.
1≦tのとき,最小値はf(t)=(t−1)2
○最大値
ア)tが0以下の場合,区間の左端で最小値になります.この事情は,f(t)f(t+1)とが等しくなるとき(t=0.5まで)続きます.
0<t<0.5のとき,最大値はf(t)=(t−1)2
イ)t=0.5のときは,左端と右端の値が等しくなります
t=0.5のとき,最大値はf(0.5)=f(1.5)=0.25
ウ)0.5>tのときは,右端x=t+1のとき最大になります.
0.5>tのとき,最大値はf(t+1)=t2
*** 一定の幅の区間が動く場合 ***


≪図2≫
aの現在値:−0.5

問22次関数y=−x2+2xの区間t≦x≦t+1における最大値と最小値を求めてください.

(次のに入るものを下の選択肢で選んでください.暗算ではできません.各自で計算用紙を使ってください.)
○最大値
t<のとき,
x=で最大値をとる

≦t≦のとき,
x=で最大値をとる
<tのとき,
x=で最大値をとる
○最小値
t<のとき,
x=で最小値をとる
≦tのとき,
x=で最小値をとる

【例題3】
 右図3は,2次関数y=f(x)=(x−t)2−1のグラフのうちで0≦x≦1の区間を赤色で示し,他の区間を灰色で示したものです.
tの値が変化するとき,この関数の区間0≦x≦1における最小値と最大値を求めてください.
tの値は,初め−0.5になっていますが,赤で示したスケールをクリックすると変更できます.)
(解説)
頂点が(t, −1)にある谷形(下に凸な)放物線のうち0≦x≦1の区間を使う.

○最小値
ア)t<0のときは,0≦x≦1の区間では増加関数になっているので
t<0のとき,最小値はf(0)=t2−1
イ)0≦t<1のときは,区間の中に減少の場所と増加の場所があり,x=tのとき最小になります.
0≦t<1のとき,最小値はf(t)=−1
ウ)1≦tのときは,減少関数になり,右端x=1のとき最小になります.
1≦tのとき,最小値はf(1)=(1−t)2−1=t2−2t
○最大値
ア)t<0のときは,0≦x≦1の区間では増加関数になっているので
t<0のとき,最大値はf(1)=(1−t)2−1=t2−2t
イ)0≦t<1のときは,区間の中に減少の場所と増加の場所があり,x=tのとき最大になります.
そのうちで,t<0.5のときはf(0)<f(1)t>0.5のときはf(0)>f(1)になるから
0≦t<0.5のとき,最大値はf(1)=t2−2t
0.5≦t<1のとき,最大値はf(0)=t2−1
ウ)1≦tのときは,減少関数になり,左端x=0のとき最大になります.
1≦tのとき,最大値はf(0)=t2−1
※答案にまとめるときは,t<0, 0≦t<0.5, 0.5≦tに分けるとよい.
. *** 区間が固定されていて,グラフが変化する場合 ***

≪図3≫
tの現在値:−0.5

問32次関数y=−(x−t)2+1の区間0≦x≦1における最大値と最小値を求めてください.
(次のに入るものを下の選択肢で選んでください.暗算ではできません.各自で計算用紙を使ってください.)
○最大値
<tのとき,x=で最大値をとる
≦t<のとき,x=で最大値をとる
≦tのとき,x=で最大値をとる
○最小値
t<のとき,x=で最小値をとる
≦tのとき,x=で最小値をとる

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