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*** 高卒から大学初年度程度 ***
逆三角関数の微分法 マクローリン展開 偏微分

== 合成関数の導関数 ==
【公式】
(1) 合成関数y=f(g(x))の微分(導関数)
y=f(u)
u=g(x)
とおくと

で求められる.

(2) 合成関数y=f(g(x))の微分(導関数)

で求められる.

※(1)(2)のどちらでもよい.各自の覚えやすい方,考えやすい方でやればよい.
(解説)
(1)←
 y=f(g(x))の微分(導関数)あるいはは次の式で定義されます.

Δx,Δuなどが有限の間は,かけ算,割り算は自由にできます。

微分可能な関数は連続なので,Δx→0のときΔu→0です。だから,
すなわち, (高校では,duで割ってかけるとは言わずに,自由にかけ算・割り算のできるΔuの段階で式を整えておくのがミソ)
<まとめ1>
合成関数は,「階段を作る」
・・・安全確実 Step by Step




y=(x2−3x+4)4の導関数を求めなさい。

[答案例]
 この関数は,
y=u4
u=x2−3x+4
が合成されているものと考えることができます。
y=u4=(x2−3x+4)4



だから

答をxの関数に直すと

(2)←
 上の公式は次のようにまとめることもできます:
y=f(g(x))
のとき
y=f(u)
u=g(x)
y'=f '(u)g'(x)
ゆえに
y'=f '(g(x))g'(x)
<まとめ2>


y=(x2−3x+4)4の導関数を求めなさい。

[答案例]
y=f(u)=u4
u=g(x)=x2−3x+4
のとき
f '(u)=4u3
g'(x)=2x−3
だから
y'=f '(g(x))g'(x)=4(x2−3x+4)3(2x−3)

 3つの関数が合成されているときは,次の公式になります.
<1>
<2>



[問題] 次の各関数の導関数を求めなさい。
○初めに関数を選び,続いて下の選択肢から導関数を選びなさい。正しく対応していれば消えます。
○間違った場合に選択肢を連打することはできません。
○間違った場合は,解説を読むことができますが,解説を読む場合でも読まない場合でも,新たに問題を選べば解答を再開できます。
- - - [関数] - - -

- - - [導関数:選択肢] - - -






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