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*** 高卒から大学初年度程度 ***
逆三角関数の微分法 マクローリン展開 偏微分

== 導関数の符号の求め方 ==
■解説
※この頁で扱うのは1つの完結した問題ではなく,次の手順の内で赤で示した部分に絞った練習です.
元の関数yが与えられる
y’を求める
y’の符号を決める
yの増減を矢印で表す
【例1】
y=2x3+3x2−12x+1のとき
y’=6x2+6x−12=6(x+2)(x−1) …(A)
となるので,このy’の符号をxの値に応じて定めることにより,次のような増減表を作ることができます.
x−21
y’+00+
y極大極小
 この頁では上の手順のうちで赤で示した部分に絞って,y’の符号を求める練習を行います.
以下において元の関数yや増減表の中でのyの矢印は省略します.

≪考え方1≫
y’の式からy’の符号を求めるために
y’のグラフを描く方法
 上の式(A)ではy’の最高次の項の係数が正(6)なので,y’のグラフは右図のようになります.
(このグラフはyのグラフではなくy’のグラフである点に注意.yのグラフはこの図とは異なります.)
 このグラフにより,y’の符号は
+| 0 || 0 |+
のように定まります.


≪考え方2≫
y’の式から直接y’の符号を求める方法
 上の式(A)ではy’の最高次の項の係数が正(6)なのでxが十分大きな値のとき,y’=6(x+2)(x−1)のすべての因数が正になります.
6は正
x+2は正x+2x=−2のとき0xがそれより大きければ正になります.)
x−1は正x−1x=1のとき0xがそれより大きければ正になります.)
 そこで,右側から順に符号を埋めて行き,0となる所で符号が変わるようにするとy’の符号が定まります.
※もし,y’=6(x+2)(x−1)2のようにx−1の因数が二重解の形になっているときは,x=1の所で2回変わると考えます.
※もし,y’=6(x+2)2(x−1)のようにx+2の因数が二重解の形になっているときは,x=−2の所で2回変わると考えます.
※もし,y’=6(x+2)3(x−1)のようにx+2の因数が三重解の形になっているときは,x=−2の所で3回変わると考えます.

【例2】
y’=−2(x+2)(x−1)(x−3)のとき …(B)
≪考え方1≫
y’の式からy’の符号を求めるために
y’のグラフを描く方法
 式(B)ではy’の最高次の項の係数が負(−2)なので,y’のグラフは右図のようになります.
(このグラフはyのグラフではなくy’のグラフである点に注意.yのグラフはこの図とは異なります.)
 このグラフにより,y’の符号は
+| 0 || 0 |+| 0 |
のように定まります.


≪考え方2≫
y’の式から直接y’の符号を求める方法
 式(B)ではy’の最高次の項の係数が負(−2)なのでxが十分大きな値のとき,y’=−2(x+2)(x−1)(x−3)の因数のうち−2だけが負で他はすべて正になります.
−2は負
x+2は正x+2x=−2のとき0xがそれより大きければ正になります.)
x−1は正x−1x=1のとき0xがそれより大きければ正になります.)
x−3は正x−3x=3のとき0xがそれより大きければ正になります.)
 そこで,右側から順に符号を埋めて行き,0となる所で符号が変わるようにするとy’の符号が定まります.
※もし,y’=−2(x+2)(x−1)(x−3)2のようにx−3の因数が二重解の形になっているときは,x=3の所で2回変わると考えます.
※もし,y’=−2(x+2)(x−1)2(x−3)のようにx−1の因数が二重解の形になっているときは,x=1の所で2回変わると考えます.
※もし,y’=−2(x+2)3(x−1)(x−3)のようにx+2の因数が三重解の形になっているときは,x=−2の所で3回変わると考えます.




(まとめ)



■問題[第1問 / 全10問]
1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_ 10_ 11_ 12_ 13_ 14_
ある関数の導関数y’が次の式になるとき,増減表のy’の符号を定めてください.(+−のどちらか一方を選んでください.)
次の参考図はyのグラフではなく,y’のグラフであることに注意
また,y’軸方向のスケールは,必要に応じて拡大縮小されています.
5 −5

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