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*** 高卒から大学初年度程度 ***
逆三角関数の微分法 マクローリン展開 偏微分

== 媒介変数表示3 ==
【要点】
(1) x, y座標がそれぞれ第3の変数tを用いて
x=f(t)
y=g(t)
…(*)
と表されるとき,tが定まると点P(x, y)が定まる.このとき,(*)を媒介変数表示tを媒介変数という.

(2) x, yが媒介変数で表される関数tを用いて表されるとき,その導関数(微分)
==
(3) 一般に,点P(a, b)を通り,傾きmの直線の方程式は
y−b=m(x−a)
となるので,上記の媒介変数表示(*)についてt=t0のときの
[接線の方程式]
y−g(t0)=(x−f(t0))
[法線の方程式]
y−g(t0)=−(x−f(t0))
(4) 動点P(x, y)の座標が,上記の媒介変数表示(*)で与えられるとき,その速度のx成分vxおよびy成分vy
vx==f’(t)
vy==g’(t)
で与えられるので,時刻tにおける速度=(vx , vy )
=(f’(t) , g’(t) )
で求められる.
 また,加速度x成分axおよびy成分ay
ax==f”(t)
ay==g”(t)
で与えられるので,時刻tにおける加速度=(ax , ay )
=(f”(t) , g”(t) )
で求められる.

【解説】
(2) ←
 yxで微分した導関数(微分)は,単なる分数ではない
のでdだけ約分するようなことはできません.
 しかし,導関数(微分)は,平均変化率の極限として
定義されており,
=
平均変化率の段階では,普通の分数で,掛け算・割り算や
約分などができます.そこで,分母と分子をΔtで割ると
=
この式において,Δx→0(このとき,同時にΔt→0となる)の極限を考えると
.=
となります.この両辺を微分記号で表すと
.=
(3) ←
 曲線上の点P(a, b)における微分係数は,導関数 (に
そのxの値を代入したもの)で求められるから,点P(a, b)における接線の方程式において
傾きはm=
また
x座標はa=f(t0)
y座標はb=g(t0)
だから,接線の方程式はy−b=m(x−a)にこの値を代入して
y−g(t0)=(x−f(t0))
で求められます.
 法線は,接線に垂直(直角)な直線で,一般に傾きmの直線に垂直(直角)な直線の傾きm’
m’=−
になります.したがって,接線
の傾きm=に垂直な
法線の傾きはm’=−になるので,
P(a, b)を通り,傾きm’=−の直線の方程式は
y−g(t0)=−(x−f(t0))



※正しい番号をクリックしてください.
問1媒介変数で表された次の関数について,導関数tの関数として表してください.
x=t2+2t+1
y=t2−1
1 2 3 4

問2媒介変数で表された次の関数について,導関数tの関数として表してください.
x=asint
y=bcost
1tant 2tant 3 4


問3次の媒介変数で表された曲線について,(  )内のtの値に対応する点における接線の方程式を求めてください.
x=t+sint
y=1−cost
(t=)
1y=x+ 2y=x− 3y=−x+ 4y=−x−

問4次の媒介変数で表された曲線について,(  )内のtの値に対応する点における接線の方程式を求めてください.
x=t2−t
y=t2+t
(t=1)
1y=2x+2 2y=2x+3 3y=3x+2 4y=3x+3




問5次の媒介変数で表された曲線について,(  )内のtの値に対応する点における法線の方程式を求めてください.
x=et
y=log t
(t=1)
1y=ex−e2 2y=−ex+e2

3y=−1 4y=−+1

問6次の媒介変数で表された曲線について,(  )内のtの値に対応する点における法線の方程式を求めてください.
x=
y=
(t=2)
1y=−x+ 2y=−x+1

3y=x−1 4y=x+




問7動点の運動が時刻tの関数として次の媒介変数で表されているとき,(  )内の時刻における速度ベクトルを求めてください.
x=tlogt
y=
(t=1)
1=(0, 1) 2=(0, −1)

3=(1, 0) 4=(−1, 0)

問8動点の運動が時刻tの関数として次の媒介変数で表されているとき,(  )内の時刻における速度ベクトルを求めてください.
x=
y=
(t=1)
1=( , ) 2=( , )
3=( , ) 4=( , )


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