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引用元の問題は記述式の問題ですが，以下の問題ではWeb画面上での操作性をよくするため，選択問題に変えています．
まぐれ当たりでは力が付きませんので，計算用紙を使って，よく考えてから選択肢の内の１つをクリックしてください．解答すれば解説が出ます．
なお，答案はこの教材の筆者が作成したものです．間違い等がありましたらお知らせください．

(1)
　x2+3xy+2y2+4x+7y+3を因数分解しなさい．

解説 やり直す

(x+y+1)(x+y+3) (x+y+1)(x+2y+3) (x+y+3)(x+2y+1) (x+y+3)(x+3y+1)

(2)
　2x2+6xy−3x+3y−2を因数分解するとオである．

解説 やり直す

(x+3y+2)(2x+1) (x+3y+2)(2x−1) (x+3y−2)(2x+1) (x+3y−2)(2x−1)

２文字以上が含まれる式の因数分解では，式全体を１つの文字について整理するのが基本です．
この問題ではxについて整理すると２次式になり，
2x2+(6y−3)x+3y−2
yについて整理すると１次式になるので，
(6x+3)y+(2x2−3x−2)
次数が低くなる方のyで整理する方が有利です． ※なお，１次式の因数分解なんか聞いたことがないと思うかもしれませんが，「共通因数でくくること」も広く因数分解に含めると，共通因数でくくることがそれにあたります． このように，１次式の因数分解はとても簡単なので，使えるときは使うようにします．
(6x+3)y+(2x2−3x−2)
=3(2x+1)y+(2x+1)(x−2)
共通因数2x+1でくくると
(2x+1)(3y+x−2)…（答）

(3)
　(x2−1)(y2−1)−4xyを因数分解せよ．

解説 やり直す

(xy+x+y+1)(xy+x+y−1) (xy+x+y+1)(xy−x−y+1) (xy+x+y−1)(xy−x−y+1) (xy+x+y−1)(xy−x−y−1)

２文字以上が含まれる式の因数分解では，式全体を１つの文字について整理するのが基本です．
この問題ではxについて整理してもyについて整理しても２次式になるので，どちらでやってもよい．ここではxについて整理してみる．
(y2−1)x2−4xy−(y2−1)
=(y+1)(y−1)x2+(−4y)x−(y+1)(y−1)
たすき掛け因数分解で１次の係数が−4yになるものを探す．
右の組合せで１次の係数が−4yになる
（原式）={(y+1)x+y−1}{(y−1)x−y−1}
=(xy+x+y−1)(xy−x−y−1)

(4)
　ab(a+b)−2bc(b−c)+ca(2c−a)−3abcを因数分解せよ．

解説 やり直す

(a+b)(b−c)(a−2c) (a−b)(b−c)(c−a) (a−2b)(b+c)(c−a) (a−2b)(b+c)(c+a)

この問題ではa,b,cのどの文字について整理しても２次式になる．ここではaについて整理してみる．
ab(a+b)−2bc(b−c)+ca
=a2b+ab2−2b2c+2bc2+2ac2−a2c−3abc
=(b−c)a2+(b2+2c2−3bc)a+2bc(c−b)
=(b−c)a2+(b−c)(b−2c)a+2bc(c−b)
=(b−c){a2+(b−2c)a−2bc}
=(b−c)(a−2c)(a+b)

(1)
多項式a4+b4+c4−2a2b2−2a2c2−2b2c2を因数分解すると2となる．

解説 やり直す

(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c) (a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a−b−c) (a2−b2−c2)2 (−a2−b2−c2)2

結果は１つでも，様々な途中経過があり，それぞれ正しいことがあります．この問題では，次の３つの方法で解いてみます．
[1] １文字について整理する．
　たとえばaについて整理するとはaだけを文字と見なし，他の文字b, cは係数,数字と見なすということです．
原式をaについて整理すると
a4−2(b2+c2)a2+(b4+c4−2b2c2)
複２次式になっているので，a2=Aとおくと，Aの２次式の因数分解の問題になります．
A2−2(b2+c2)A+(b4+c4−2b2c2)
そこで，積がb4+c4−2b2c2になり，和が−2(b2+c2)になる２つの式を見つけたらよいことになります．
b4+c4−2b2c2=(b2−c2)2=(b+c)2(b−c)2
和の符号をマイナスにしたいので，２つともマイナスの符号にすると
−(b+c)2−(b−c)2
=−b2−2bc−c2−b2+2bc−c2=−2b2−2c2
結局
A2−2(b2+c2)A+(b4+c4−2b2c2)
={A−(b+c)2}{A−(b−c)2}
a2に戻すと
{a2−(b+c)2}{a2−(b−c)2}
=(a+b+c)(a−b−c)(a+b−c)(a−b+c)
[2] ○²−□² に持ち込む．
　まず，次の公式を思い出すことから始めます．
(a+b+c)2=a+b2+c2+2ab+2bc+2ca
(a−b+c)2=a+b2+c2−2ab−2bc+2ca
(a+b−c)2=a+b2+c2+2ab−2bc−2ca…(*)
(a−b−c)2=a+b2+c2−2ab+2bc−2ca
ところが
(−a−b−c)2=(a+b+c)2=a+b2+c2+2ab+2bc+2ca
だから，展開した結果が
a+b2+c2−2ab−2bc−2ca
となるものは，これらの中にないということが第１のポイントです．

しかし，次の例のように（実係数の範囲で考えたとき）２次式では因数分解ができない場合でも，複２次式なら「○²−□² に持ち込むと」因数分解できることがあります．
a2+a+1は因数分解できないが
a4+a2+1=(a2+1)2−a2=(a2+a+1)(a2−a+1)は因数分解できる

このノリで（お笑い番組ではないので，数学の答案では「ノリ」とは言わないかもしれない．「この方法に味をしめて」でもまだまだコテコテの言い方になる．「この方法から類推して」とか「この方法の連想で」というのが上品な言い方なのかもしれない）
a2+b2+c2−2ab−2ac−2bc
では，因数分解ができないのに対して
a4+b4+c4−2a2b2−2a2c2−2b2c2
では，できるようにしてみる．（つまり，無理やり○²−□²を作ればよい）
a4+b4+c4−2a2b2−2a2c2−2b2c2
=(a4+b4+c4+2a2b2−2a2c2−2b2c2)−4a2b2
かっこの中は上の(*)の式に対応しているから
=(a2+b2−c2)2−(2ab)2
=(a2+2ab+b2−c2)(a2−2ab+b2−c2)
={(a+b)2−c2}{(a−b)2−c2}
=(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a−b−c)
[3] 解の公式を使って因数分解する．
a4+b4+c4−2a2b2−2a2c2−2b2c2
において，a2=xとおくと，xの２次式ができる．
x2−2(b2+c2)x+b4+c4−2b2c2
そこで，次の２次方程式を解の公式を使って解く
x2−2(b2+c2)x+b4+c4−2b2c2=0
\( x=b^2+ c^2\pm\sqrt{(b^2+ c^2)^2-(b^4+ c^4-2b^2c^2)} \)
\( x=b^2+c^2\pm\sqrt{4b^2c^2}=b^2+ c^2\pm 2bc \)
（普通だったら\( \sqrt{4b^2c^2}=2bc \) とは言えないが，この問題では±の２つとも使っているから，単純にはずせる）
２つの解が，\( b^2+ c^2\pm 2bc \) であるから，元の２次式は次のように因数分解できる．
\( \{x-(b^2+ c^2+ 2bc)\}\{x-(b^2+ c^2-2bc)\} \)
a2に戻すと
\( =\{a^2-(b^2+ c^2+ 2bc)\}\{a^2-(b^2+ c^2-2bc)\} \)
\( =\{a^2-(b+c)^2\}\{a^2-(b-c)^2\} \)
\( =(a+ b+ c)(a-b-c)(a+ b-c)(a-b+ c) \)

(1)
(x2+4x)2+8x2+32x+15を因数分解せよ．

解説 やり直す

(x+1)2(x+3)(x+4) (x+1)2(x+3)(x+5) (x+1)(x+3)(x2+4x+5) (x+1)(x+5)(x2+4x+3)

同じ式が２回以上登場したら１つの文字に置き換えると，見やすく間違いにくくなります．
同じ式がないときでも，作れる場合があります．
(x2+4x)2+8x2+32x+15=(x2+4x)2+8(x2+4x)+15
x2+4x=Aとおくと
=A2+8A+15
=(A+3)(A+5)
=(x2+4x+3)(x2+4x+5)
=(x+1)(x+3)(x2+4x+5)

(2)
(ab+1)(a+1)(b+1)+abを因数分解せよ．

解説 やり直す

(ab+a+1)(ab+b+1) (ab−a+1)(ab−b+1) (ab+a−1)(ab+b−1) (b+1)(a2+a+1)

同じ式が２回以上登場したら１つの文字に置き換えると，見やすく間違いにくくなります．
同じ式がないときでも，作れる場合があります．
(ab+1)(a+1)(b+1)+ab
=(ab+1)(ab+a+b+1)+ab

(1)
(b−a)3−(b−c)3−(c−a)3を因数分解すると3ウである．

解説 やり直す

(a−b)(b−c)(c−a) (a−b)(c−b)(c−a) (a+b)(b−c)(c−a) (a+b)(b+c)(c−a)

−(a−b)3−(b−c)3−(c−a)3
と変形すると見やすくなる．
[1] 部分から全体を見る場合
３次の因数分解公式
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)をx=a−b, y=b−cとして使うと，x+y=a−cになるから，(c−a)3と共通因数x+y=a−cができ，これでくくればよい．それから先はやってから考えたらよい．
(a−b)3+(b−c)3
において，x=a−b, y=b−cとおくと
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)
=(a−c){(a−b)2−(a−b)(b−c)+(b−c)2}
右の{　}内を根気よく整理すると
=(a−c)(a2+3b2+c2−3ab−3bc+ac)
したがって
(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3
=(a−c)(a2+3b2+c2−3ab−3bc+ac)+(c−a)3
=(a−c){a2+3b2+c2−3ab−3bc+ac)−(c−a)2}
右の{　}内を根気よく整理すると
=3(a−c)(a−b)(c−b)
（原式）=−3(a−c)(a−b)(c−b)=3(a−b)(c−b)(c−a)
[2] 全体から部分を見る場合
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)
という公式において
x=a−b, y=b−c, z=c−aとおくと
x+y+z=0になるから
(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3−3(a−b)(b−c)(c−a)=0
−(a−b)3−(b−c)3−(c−a)3=−3(a−b)(b−c)(c−a)
=3(a−b)(c−b)(c−a)