■3次関数のグラフ・・・微分するまでに分かること
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■3次関数のグラフの見方(その1)
 3次関数のグラフ全体の増減の傾向を見るときは,x3の係数を見るとよい.
○ 右の≪図1≫は
.y=1x3+x2−3x+4
のグラフです.
 このグラフは,全体の傾向として
.「左下から右上へ向かって」
います.
 その理由は次のように考えることができます.
 例えば,x=10のとき,
x3=1000
2x2=200
−3x=−30
4
となって,大きさのほとんどはx3で決まり,他は小銭のようなものです.
 逆に,x=−10のとき,
x3=−1000
2x2=200
−3x=30
4
も,大きさのほとんどはx3で決まり,他は小銭のようなものです.

○ 右の≪図2≫は
.y=2x3+5x−7
のグラフで,このグラフでもx=10のような大きな値では,大きさのほとんどは2x3で決まり,5x−7の値はわずかなものです.
○  右の≪図3≫は
.y=−1x3+3x
のグラフです.
 このグラフは,全体の傾向として
.「左上から右下へ向かって」
います.
 その理由は次のように考えることができます.
 例えば,x=10のとき,
x3=1000
3x=30
となって,大きさのほとんどはx3で決まり,他は小銭のようなものです.
 逆に,x=−10のとき,
−1x3=1000
3x=−30
も,大きさのほとんどはx3で決まり,他は小銭のようなものです.

○ 右の≪図4≫は
.y=−2x3+3x2
のグラフで,このグラフでもx=10のような大きな値では,大きさのほとんどは−2x3で決まり,3x2の値はわずかなものです.

【その1・・・要点】
 x3の係数が ⇒ 大きな傾向としては「左下から右上へ」
 x3の係数が ⇒ 大きな傾向としては「左上から右下へ」



■3次関数のグラフの見方(その2)
 3次関数のグラフ
.y=ax3+bx2+cx+d (a≠0)
x軸すなわちy=0の直線との共有点(交点と接点)を調べるには,3次方程式
.ax3+bx2+cx+d=0
を解けばよい.

 特に,3次式ax3+bx2+cx+d=0 (a≠0)
.a(x−α)(x−β)(x−γ)=0
の形に因数分解できるときは,3次方程式の解はx=α, β, γとなるから,これらが共有点のx座標になる.
○右の≪図5≫はy=(x+1)x(x−2)のグラフです.
 まず第1に,y=(x+1)x(x−2)=x3−x2−2xで,x3の係数が正だから,グラフは「左下から右上に」向かいます.
 x軸と交わる場所は,3次方程式を解いて求めます.
(x+1)x(x−2)=0から
x+1=0 → x=−1
x=0
x−2=0 → x=2
 以上の2つのことを考えて,「左下から入る」→「x=−1で交わる」→「x=0で交わる」→「x=2で交わる」→「右上に向かう」
 すると,≪図5≫のようなグラフが描けます.






○上の≪図6≫はy=−(x+2)(x+1)(x−1)のグラフです.
 まず第1に,y=−(x+2)(x+1)(x−1)=−1x3...で,x3の係数が負だから,グラフは「左上から右下に」向かいます.
 x軸と交わる場所は,3次方程式を解いて求めます.
−(x+2)(x+1)(x−1)=0から
x+2=0 → x=−2
x+1=0 → x=−1
x−1=0 → x=1
 以上の2つのことを考えて,「左上から入る」→「x=−2で交わる」→「x=−1で交わる」→「x=1で交わる」→「右下に向かう」
 すると,≪図6≫のようなグラフが描けます.

■重解(二重解,三重解)があるときのグラフの特徴

A:y=a(x−α)(x−β)(x−γ)において,
α<β<γが互いに異なる値のとき,グラフは右の解説図Aのようになります.
 上で述べた≪図5≫はα=−1, β=0, γ=2の場合になっています.
 ≪図6≫はα=−2, β=−1, γ=1です.

B:小さい方の2つの解α, βがカレイの目玉のようにだんだん寄ってきて,とうとう重なってしまった場合(β=α)を考えると,
y=a(x−α)(x−α)(x−γ)=a(x−α)2(x−γ)のグラフはBのようになります.
 例えば,α=−1, β=−1, γ=2の場合,方程式はy=a(x+1)2(x−2)となり,上のBの図になります.
 x3の係数aが負の値の場合,例えばy=−2(x+1)2(x−2)のときは,下のBの図になります.
■** これらの場合,グラフはx=α(=β)の所で「接点」となります.⇒横切らずに,元の側に戻ります.**■

C:大きい方の2つの解β, γが重なった場合(γ=β)は,
y=a(x−α)(x−β)(x−β)=a(x−α)(x−β)2のグラフはCのようになります.
 例えば,α=−1, β=2, γ=2の場合,方程式はy=a(x+1)(x−2)2となり,上のCの図になります.
 x3の係数aが負の値の場合,例えばy=−2(x+1)(x−2)2のときは,下のCの図になります.
■** これらの場合も,グラフはx=β(=γ)の所で「接点」となります.⇒横切らずに,元の側に戻ります.**■

D:3つとも重なった場合(α=γ=β)は,
y=a(x−α)(x−α)(x−α)=a(x−α)3のグラフはDのようになります.
 例えば,α=2, β=2, γ=2の場合,方程式はy=a(x−2)3となり,上のDの図になります.
 x3の係数aが負の値の場合,例えばy=−(x−2)3のときは,下のDの図になります.
■** これらの場合も,グラフはx=α(=β=γ)の所で「接点」となり,しかもその後向こう側に出ます.**■
≪解説図≫
※三重解を持つDの図は,「単にx軸と交わっているのとは違います.」
 駅のホームで線路をよく見ると,ホームが3つあるような場合には,線路が単に交差しているのではなくて,直進もできさらに向こうの線路にも行けるように三重解の形に作ってあることが分かります.
【解,二重解,三重解でx軸に触った後の向き】…世間的・通俗的な解説〜♪
○右の≪図7≫はy=(x+2)2(x−1)のグラフです.
 まず第1に,y=(x+2)2(x−1)=1x3...で,x3の係数が正だから,グラフは「左下から右上に」向かいます.
 x軸と交わる場所は,3次方程式を解いて求めます.
(x+2)2(x−1)=0から
x+2=0 → x=−2(二重解)
x−1=0 → x=1
 以上の2つのことを考えて,「左下から入る」→「x=−2で接するだけで元に戻る」→「x=1で交わる」→「右上に向かう」
 すると,≪図7≫のようなグラフが描けます.
○右の≪図8≫はy=(x+2)(x−1)2のグラフです.
 まず第1に,y=(x+2)(x−1)2=1x3...で,x3の係数が正だから,グラフは「左下から右上に」向かいます.
 x軸と交わる場所は,3次方程式を解いて求めます.
(x+2)(x−1)2=0から
x+2=0 → x=−2
x−1=0 → x=1(二重解)
 以上の2つのことを考えて,「左下から入る」→「x=−2で交わる」→「x=1で接するだけで元に戻る」→「右上に向かう」
 すると,≪図8≫のようなグラフが描けます.
○右の≪図9≫はy=−(x+1)2(x−2)のグラフです.
 まず第1に,y=−(x+1)2(x−2)=−1x3...で,x3の係数が負だから,グラフは「左上から右下に」向かいます.
 x軸と交わる場所は,3次方程式を解いて求めます.
(x+1)2(x−2)=0から
x+1=0 → x=−1(二重解)
x−2=0 → x=2
 以上の2つのことを考えて,「左上から入る」→「x=−1で接するだけで元に戻る」→「x=2で交わる」→「右下に向かう」
 すると,≪図9≫のようなグラフが描けます.


○上の≪図10≫はy=(x−1)3のグラフです.
 まず第1に,y=(x−1)3=1x3...で,x3の係数が正だから,グラフは「左下から右上に」向かいます.
 x軸と交わる場所は,3次方程式を解いて求めます.
(x−1)3=0から
x−1=0 → x=1(三重解)
 以上の2つのことを考えて,「左下から入る」→「x=1で接するが反対側に出る」→「右上に向かう」
 すると,≪図10≫のようなグラフが描けます.

■実数解が1つだけあるときのグラフの特徴

E:
y=a(x−α)(x2+1)
y=a(x−α)(x2+x+1)
のように,3次方程式が実数解を1つだけ持っていて,残り2つは虚数解という場合
右図11や12のようにx軸との交点が1つだけあります.
○右の≪図11≫はy=(x−1)(x2+1)のグラフです.
 まず第1に,y=(x−1)(x2+1)=1x3...で,x3の係数が正だから,グラフは「左下から右上に」向かいます.
 x軸と交わる場所は,3次方程式を解いて求めます.
(x−1)(x2+1)=0から
x−1=0 → x=1
x2+1=0 → 判別式が負だから虚数解(実数解なし)
 以上の2つのことを考えて,「左下から入る」→「x=1で交わる→「右上に向かう」
 すると,≪図11≫のようなグラフが描けます.
それじゃ〜
y=x−1の直線と同じじゃないかよ.


y=x−1と違って,
y=(x2+1)(x−1)になっているので,傾きが変化するのです.

どこで曲がるか,わからん.

おっしゃる通りで,曲がり方は「微分」を使わないと言えません.
 この頁では微分を使わない範囲までしか扱っていないので,深入りは避けます.

○右の≪図12≫はy=(x−2)(x2+2x+3)のグラフです.
 まず第1に,y=(x−2)(x2+2x+3)=1x3...で,x3の係数が正だから,グラフは「左下から右上に」向かいます.
 x軸と交わる場所は,3次方程式を解いて求めます.
(x−2)(x2+2x+3)=0から
x−2=0 → x=2
x2+2x+3=(x+1)2+2=0 → 判別式が負だから虚数解(実数解なし)
 以上の2つのことを考えて,「左下から入る」→「x=2で交わる→「右上に向かう」
 すると,≪図12≫のようなグラフが描けます.
x=2で交わるのは分かるが,曲がり方が分からん

x=0のときにy=−6になるので,あとは滑らかに結びます.

(難しい読み物)
※ ここまで,3次方程式の解について調べてきましたが
n次方程式は,複素数の範囲で(重解はその重複度だけ数えるものとして)n個の解を持ちます.[代数学の基本定理]
したがって,3次方程式は複素数の範囲で3個の解を持ちます.
 次に,この頁で扱っている,実係数の3次関数y=ax3+bx2+cx+d (a≠0)について考えると
実軸x, y平面上のグラフを考えるときに,虚数係数の3次関数は考えない.虚数係数だとグラフは描けないから.
 3次方程式ax3+bx2+cx+d=0 (a≠0)の実数解の個数(重解はその重複度だけ数えるものとする)は,
■ア 実数解0個(実数解なし)と虚数解3個:←このようなことは起らない.
○イ 実数解1個と虚数解2個
■ウ 実数解2個と虚数解1個:←このようなことは起らない.
○エ 実数解3個と虚数解0個(虚数解なし)
 エを細かく分けたものが上述のA,B,C,Dとなっている.

 残りのア,イ,ウを考えるには,次の定理が鍵になる.
「実係数のn次方程式が虚数解p+qi (q≠0)を持てば,その共役複素数p−qiもまた解となる.」
(1) これにより,実係数の1次方程式ax+b=0a,bは実数)は虚数解を持たないことが間接的に分かる.なぜなら,もし虚数x=p+qi (q≠0)が解ならば,その共役複素数もx=p−qi (q≠0)も解となり,解が2個あることになり,代数学の基本定理と矛盾するから.
 もちろん,直接的にx=−は実数と言うこともできる.
(2) 実係数の2次方程式ax2+bx+c=0a≠0,b,cは実数)は,実数解を2つ持つ場合(重解となる場合も含む)と虚数解を2つ持つ場合しかないことが分かる.なぜなら,もし,実数解1つ(x=α)と虚数解1つβ=p+qi (q≠0)を持てば,β=p−qiも解となり,2次方程式に解が3個あることになって,代数学の基本定理と矛盾するから.
実数解が2つある例:(x+2)(−1)=0x=−2, 1
虚数解が2つある例:x2+x+1=0x=
(3) 実係数の3次方程式ax3+bx2+cx+d=0a≠0,b,c,dは実数)の解を調べると,ここまでの内容と同様に虚数解は0個か2個しかあり得ないから,上の分類のイとエのみが可能で,アとウは不可能となる.
実係数の3次方程式ax3+bx2+cx+d=0a>0,b,c,dは実数)の実数解が「ない」ということは起りえなくて,「少なくとも1つはある」ということは,右のような図によっても分かる.
 左下からスタートして,右上に行くのであるから,少なくとも1回はx軸に触れる.もちろん,赤で示したように3回触れる場合(異なる3個の実数解がある場合)や,緑で示したように2回触れる場合(実数の重解1つと他の1つの実数解)もある.

(参考)
 次の問題では,数式を GoogleChart APIで表し,グラフを Google Chart Toolsで描き,採点をjavascriptで行っています.
 ご利用のネットワーク環境によっては,グラフの描画に少し時間がかかる場合があります.
【問題】 次の3次関数の形を答えてください.
はじめに左の欄から3次関数を選び,
続いて右のグラフを選んでください.
やり直すときは,右のグラフを次々に選ぶのでなく,左の3次関数を選び直すことから始めてください.
HELPのメッセージは,下の  に出ます.







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