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■固有値，固有ベクトルの定義
ｎ次正方行列Aに対して
A=λ （≠）
となるような定数λとベクトル（ｎ次元の列ベクトル）が存在するとき，λをAの固有値といい，をλに属する（に対する）固有ベクトルという．
A=
例２ ３次正方行列での例
 のとき，
 
 固有値λ2= −1に属する固有ベクトルは 
A=
 のとき，
  
固有値λ1=1に属する固有ベクトルは  固有値λ2=2に属する固有ベクトルは  固有値λ3=3に属する固有ベクトルは  |
だから
だから
だから
だから
だから|
○ あるベクトルが固有ベクトルであるとき，その定数倍（０倍以外）はすべて固有ベクトルとなる．
A=λ → A(k)=λ(k)
（３次元を例にとると）１つの固有ベクトルが のとき， （kは0以外の数）の形でその方向のすべての固有ベクトルを表すことができる．そこで，固有値と固有ベクトルを答えるとき，固有値は数値で答え，固有ベクトルは （kは0以外の数）の形で答えるとよい.
○ 固有ベクトルの図形的意味 ≠で
A=λ
となるとき，右辺はベクトルの定数倍だから，固有ベクトルとは行列Aによって
方向が変わらないベクトル
ということになる．（固有値が１でない限り大きさは変わる．固有値が負の数のときは逆向きになる･･･同じ向きと逆向きとを合わせて同じ方向というので，方向は変わらない．）２次元の場合，平面上のほとんどのベクトルはこのような性質をもたないが，２つの直線上にあるベクトルだけは方向が変わらない固有ベクトルとなる．
  ○ 原点のまわりに角度Θだけ回転することを表す行列  では，実数の固有値はない．（固有値は虚数になる．）このような場合には，x-yの実数平面上には方向の変わらないベクトルはない．
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【 つぶやき･･･固有値と固有ベクトルは，どちらがニワトリでどちらが卵か 】 ○ あるベクトル≠に対してA=λとなる定数λが存在するとき，≠をAの固有ベクトルという． ○ 与えられたｎ次正方行列Aに対して固有値と固有ベクトルを求める計算においては，まず固有値を求めて次に固有ベクトルを求める． 日本語の教科書で固有ベクトルを示すときに「固有値λに属する固有ベクトル」と書かれているとこの手順が分かりやすい． ○ 英語では固有値が固有ベクトルに属する，固有ベクトルが固有値をもつという表記が見られる．（固有ベクトルが固有値をもっているという考え）
λ is an eigenvalue of A belonging to the eigenvector v. ［λは固有ベクトルvに属するAの固有値］ Let v be an eigenvector having λ as eigenvalue. ［λを固有値としてもつ固有ベクトル･･･］ An eigenvector with eigenvalue λ. ［固有値λをもつ固有ベクトルv］ ○ 〜と関連する，〜に付随する(associated with , associated to)と書くときは固有値に付随すると考えるようである．（固有値に固有ベクトルが付いているという考え）
an eigenvector associated with the eigenvalue.
The vector v is called eigenvector associated to the eigenvalue. ［固有値に付随する固有ベクトル］ ○ 対応する(corresponding to)と書くときは固有値，固有ベクトルのいずれを主語とする表記もみられる．
λ is an eigenvalue of A corresponding to the eigenvector v.
［λは固有ベクトルvに対応するAの固有値］ v is an eigenvector corresponding to λ. ［vは固有値λに対応する固有ベクトル］ 【要点】 日本語表記で「対応する」「対する」と書き，英語表記で corresponding to と書けば，固有値・固有ベクトルのどちらを主語にしても書ける． |