■複素数の対称式,値の代入 → 携帯版は別頁
【対称式の値】
 x2+y2, x2y+xy2などのように文字x, yを入れ替えても式の値が変わらないものを対称式といいます.
 2文字x, yの対称式の値を求めるときは,基本対称式x+yxyで表すようにすると,簡単になり,間違いにくくなります.

【例題1】
x=2+i, y=2−iのとき,+の値を求めてください.
「力まかせに代入」するのではなく,基本対称式x+yxyで表すようにします.
(解答)
 x+y=4, xy=7だから
+====
○ 2文字x, yの場合に基本対称式x+yxyで表す変形の例
x2+y2=(x+y)2−2xy
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y)((x+y)2−3xy)
+=

【例題2】
x=, y=のとき,x3+y3の値を求めてください.
(解答)
x+y=+==1,
xy====1

だから
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y){(x+y)2−3xy}
=1·(1−3)=−2
問題1
x=, y=のとき,次の式の値を求めてください.
はじめに問題を選び,続いて右の選択肢から解答を選んでください.)

(1) x+y

(2) xy

(3) x2y+xy2

【選択肢】
問題2
x=, y=のとき,次の式の値を求めてください.
はじめに問題を選び,続いて右の選択肢から解答を選んでください.)

(1) x+y

(2) xy

(3) +

【選択肢】
問題3
x=, y=のとき,次の式の値を求めてください.
はじめに問題を選び,続いて右の選択肢から解答を選んでください.)

(1) x+y

(2) xy

(3) x3+x2y+xy2+y3

【選択肢】
○ 「x=のとき,x4−x3+x2+x+9の値は?」
というような問題の場合において,力まかせにx4x3などの値を求めようとすると計算量が多くなり,間違いやすくなります.
 このような問題では,
(1) x=が満たす方程式を作る.
(2) 方程式の左辺で割り算して商と余りに分ける.
(3) 求めるべき式の次数を下げてから代入する.
という手順を踏むのが定石となっています.

(右の解説について:補足説明)
(1)
この変形ではのところで同値関係が崩れていることに注意.すなわち,x=ならばx2−3x+4=0は成り立ちますが,x2−3x+4=0ならば,必ずしもx=とは言えず,x=の場合もあります.
通常,2乗すれば同値関係が崩れます.
それゆえに,x2−3x+4=0の左辺は求める式の次数を下げることには利用できますが,それだけでは答案は完成できず,どちらの解であるのかを使わなければならないことがあります.
たとえば,x=ならば,途中までは同じ答案になりますが,最後にxの値を代入したときに結果が変わります.
(2)
x2−3x+40になるのなら,この変形は0で割っているのではないかという疑問について
(2)の変形は「恒等式としての変形で,どのようなxに対しても成り立ちます.」すなわち,(2)において「割り算」ではなく掛け算の式を見る限り,矛盾はありません.
(3)
x4−x3+x2+x+9はつねに2x−3に等しいと言えるのかという疑問について
⇒そんなことはありません.この変形ができるのはx2−3x+4=0すなわちx=またはx=のときだけです.他の値については他の式を使わなければなりません.
【例】
(1) x=2x=3+i2x−3=i
(2x−3)2=7i24x2−12x+9=−7
4x2−12x+16=0x2−3x+4=0
(2) x4−x3+x2+x+9=(x2−3x+4)(x2+2x+3)+2x−3
この変形は,次の割り算の結果を「割り算の原理」:A÷:B=Q...RA=BQ+Rによって,掛け算と足し算で書き直したものです.
x2+2x+3
x2−3x+4 ) x4−x3+x2+x+9
x4−3x3+4x2
2x3−3x2+x
2x3−6x2+8x
3x2−7x+9
3x2−9x+12
2x−3
(3) x=のとき,x2−3x+4=0だから
x4−x3+x2+x+9=(x2−3x+4)(x2+2x+3)+2x−3=2x−3
=2×−3=3+i−3=i …(答)
問題4
x=のとき,2x3−8x2+13x−7の値を
求めたい.次の問いに答えてください.
はじめに問題を選び,続いて右の選択肢から解答を選んでください.)

(1) x=が解となる実係数の2次方程式は





(2) (1)で求めた2次方程式の左辺で2x3−8x2+13x−7を割って,商と余りに分けると




(3) 結局,2x3−8x2+13x−7の値は

【選択肢】
問題5
x=2+iのとき,x3−2x2+11の値を求めたい.次の問いに答えてください.
はじめに問題を選び,続いて右の選択肢から解答を選んでください.)

(1) x=2+iが解となる実係数の2次方程式は





(2) (1)で求めた2次方程式の左辺でx3−2x2+11を割って,商と余りに分けると




(3) 結局,x3−2x2+11の値は

【選択肢】
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■[個別の頁からの質問に対する回答][複素数の対称式,値の代入について/17.5.10]
間違いの指摘です 白い四角の二つ目のところで割り算の説明をしていますが 「この変形は,次の割り算の結果を「割り算の原理」:A÷:B=Q...R ⇔ A=BR+Rによって,掛け算と足し算で書き直したものです.」のところで A=BR+RではなくA=BQ+Rの間違いだと思います
=>[作者]:連絡ありがとう.入力ミスでしたので訂正しました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][複素数の対称式,値の代入について/16.12.6]
問題1〜3でyが抜けています。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.