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== 外分点の位置ベクトル、重心の位置ベクトル ==

線分ABをm:nに外分する点Qとは,
AQ:QB=m:n となるような点QをABの外側にとったもの。(下図参照)
Aの外側にあればm<nとなり、Bの外側にあれば m>nとなる。
≪要点1≫
2点A,Bを結ぶ線分ABをm:nに外分する点Qの位置ベクトルは


■[解説]
m>n のとき,図アにより
=-
AQ:QB=m:n だからAQ:AB=m:(m-n)

m<n のとき,図イにより
=-
AQ:QB=m:n だからAQ:AB=m:(n-m)
AQ,ABは逆向きだから



≪要点2≫
△ABCの頂点A,B,Cの位置ベクトルを各々とするとき,△ABCの重心Gの位置ベクトルは


■[解説]
BCの中点Mの位置ベクトルは

次に,A(),M() を2:1に内分する点がGだから,

三角形の重心は,元々は各頂点から対辺に引いた中線が交わる点として定義されるが,「中線の交点を求める」ためには,直線のベクトル方程式を学ぶ必要がある。
ここでは、三角形の重心の定義ではなく,定義から導かれる一つの性質:「重心は
頂点と対辺を2:1に内分する」を用いて,重心を求める。
MからBNに平行線を引き,ACとの交点をPとすると,
PN:NA=1:2だから,
AG:GM=2:1


■[問題]
△ABCの頂点の位置ベクトルを,ABを2:3に外分する点をP,BCを2:3に外分する点をQ,CAを2:3に外分する点をRとするとき,次の各ベクトルをで表せ。
○初めに問題を選び、続いて選択肢を選びなさい。合っていれば消えます。暗算は難しいので計算用紙を使いましょう。
○間違った場合は,HELPが使えますが,HELPを使う場合でも使わない場合でも,新たに問題を選べば再開できます.
[問題]




[選択肢]




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