■外分点の位置ベクトル、重心の位置ベクトル→ 携帯版は別頁
 線分ABをm:nに外分する点Qとは,AQ:QB=m:n
となるような点QをABの外側にとったもの。(右図参照)
 Aの外側にあればm<nとなり、Bの外側にあれば
m>nとなる。
(この項目の復習はこちら)
■[要点]

2点A,Bを結ぶ線分ABをm:nに外分する点Qの位置
ベクトルは


△ABCの頂点A,B,Cの位置ベクトルを各々
とするとき,△ABCの重心Gの位置ベクトルは
■[解説]

m>n のとき,図アにより
=-
AQ:QB=m:n だからAQ:AB=m:(m-n)

m<n のとき,図イにより
=-
AQ:QB=m:n だからAQ:AB=m:(n-m)
AQ,ABは逆向きだから


BCの中点Mの位置ベクトルは

次に,A(),M() を2:1に内分する点がGだから,

三角形の重心は,元々は各頂点から対辺に引いた中線が交わる点として定義されるが,「中線の交点を求める」ためには,直線のベクトル方程式を学ぶ必要がある。
ここでは、三角形の重心の定義ではなく,定義から導かれる一つの性質:「重心は
頂点と対辺を2:1に内分する」を用いて,重心を求める。
MからBNに平行線を引き,ACとの交点をPとすると,
PN:NA=1:2だから,
AG:GM=2:1
■[問題]
△ABCの頂点の位置ベクトルを,ABを2:3に外分する点をP,BCを2:3に外分する点をQ,CAを2:3に外分する点をRとするとき,次の各ベクトルをで表せ。
(初めに問題を選び、次に選択肢を選びなさい。合っていれば消えます。なお、選択肢にはジョーカが含まれています。暗算は難しいので計算用紙を使いましょう。)
[問題]


[選択肢]




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