■ 不定積分の置換積分携帯版

◇はじめに◇ 元の問題のままでは積分計算が困難に見える場合でも,変数を置き換えて関数形を変えると,簡単に積分計算ができることがあります。 変数の置き換えで積分を求める方法が置換積分です。
 ■ 次の空欄を埋めなさい。ただし,スペースキーを使わず,sin x などは詰めて sinx と書きなさい。また,数字は半角文字で,英字は半角小文字で書きなさい。
 ※ なお,このページに使用しているフォントで t は,pqrst の t , x は xyz の xです。
(例題1)

(2x+1)3dx
(答案)
2x+1 = t とおくと, = 2dx =

(原式) = t3 = +C = +C  ・・・ 答
(問題1-1)

(3x−2)4dx
(答案)
= t とおくと, = 3dx =


(原式) = t4 = + C = +C  ・・・ 答


(問題1-2)

(答案)
= t とおくと, = 2dx =


(原式) = t-2 = + C =−+C  ・・・ 答

◎一般に a ≠ 0 のとき,次の公式が成り立ちます。
(ax+b)ndx=+C dx = (ax+b)dx = + C

sin(ax)dx =−cos(ax)+C sin(ax+b)dx =−cos(ax+b)+C

cos(ax)dx = sin(ax)+C cos(ax+b)dx = sin(ax+b)+C

eaxdx = eax+Ceax+bdx = eax+b+ C

 ていねいに計算するには,置換積分によりますが,逆に右辺を微分して左辺にするときに a が掛けられるので,積分のときは a で割ると考えれば簡単です。
(問題1-3)
sin(2x+1)dx =−+C



e3xdx = +C

(1−4x)7dx = +C

cos(3x+ )dx = + C

.
(例題2)

xdx
(答案)
= t とおくと,x+1 = t2  →  x = t2−1  →  = 2t  →  dx = 2t dt

(原式) = (t2−1)・t・2t dt = 2(t4−t2)dt = 2( )+C
= 2( )+C = 2( )+C


※ 無理関数を含む場合 = t とおくと,うまく置換積分できます。
簡単な式は,ax+b = t でもできます。
(問題2-1)

dx
(答案)
= t とおくと,x+1 = t2  →  x = t2−1  →  =  →  dx = dt

(原式) = ・2t dt = 2 (t2−1)dt = 2( -t)+C

= 2( )+C  ・・・(この後 2 でくくることができます。)
(問題2-2)

x dx
(答案)
= t とおくと,x−1 = t3   →  x = t3+1  →  = t2  →  dx = t2 dt

(原式) = (t3+1)・t・3t2 dt = 3 (t6+t3) dt = 3 ( + )+C

= 3( + )+C

 ・・・(この後 (x−1) でくくることができます。)
.
(例題3)

2xex2+1dx
(答案)
x2+1 = t とおくと,= 2x  →  dx =

(原式) = 2x et = et dt = et+C = ex2+1+C

※ f(x)dxf(x) を被積分関数といいます。この問題のように,被積分関数の全部が t に変換できなくても,約分によって x が消えることがあります。これは,f(x)dxf(x)dx...dt になると考えても同じです。
(問題3-1)

sin3x cosx dx
(答案)
sinx = tとおくと = cosx  →  dx =

(原式) = t3 cosx = t3 dt = +C = +C


※【要点】 sinnx cosx →sinx = tとおく, cosnx sinx → cosx = t とおく。
(問題3-2)

dx
(答案)
logx = t とおくと, =  →  dx = dt

(原式) = x dt = t dt = +C = +C


.
(例題4)

dx
(答案)
x2+x+1 = t とおくと,= 2x+1  →  dx =

(原式) = = = log| t |+C = log|x2+x+1|+C

(この式でx2+x+1 は常に正なので,最後の式は log(x2+x+1)+C とできます。

※ 一般に,分子が分母の微分となっているときは, となるので,直ちに

log| 分母 |+C とすることができます。(丸もうけです。)
(問題4-1)

dx
(答案)
被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから
(原式) = log| |+C
(問題4-2)

dx
(答案)
被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから
(原式) = log(ex+)+C
※ なお,原式の分母は,つねに正だから | | 記号は不要。
(問題4-3)

dx
(答案)
dx = dx と変形すると, 被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから

(原式) = log||+C
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