■　不定積分の置換積分
◇はじめに◇　元の問題のままでは積分計算が困難に見える場合でも，変数を置き換えて関数形を変えると，簡単に積分計算ができることがあります。 変数の置き換えで積分を求める方法が置換積分です。
　■　次の空欄を埋めなさい。ただし，スペースキーを使わず，sin x などは詰めて sinx と書きなさい。また，数字は半角文字で，英字は半角小文字で書きなさい。
　※　なお，このページに使用しているフォントで t は，pqrst の t ， x は xyz の xです。
(例題1)

(2x+1)3dx 		(答案)
2x+1 = t とおくと， = 2 → dx =

(原式) = t3 = +C = +C 　･･･　答
(問題1-1)

(3x−2)4dx 		(答案)
= t とおくと， = 3 → dx =


(原式) = t4 = + C = +C 　･･･　答

(問題1-2)

 (答案)
= t とおくと， = 2 → dx =


(原式) = t-2 = + C =−+C 　･･･　答
◎一般に a ≠ 0 のとき，次の公式が成り立ちます。
(ax+b)ndx = +C ，dx = (ax+b)dx = + C

sin(ax)dx =−cos(ax)+C ， sin(ax+b)dx =−cos(ax+b)+C ，

cos(ax)dx = sin(ax)+C ，cos(ax+b)dx = sin(ax+b)+C

eaxdx = eax+C，eax+bdx = eax+b+ C

　ていねいに計算するには，置換積分によりますが，逆に右辺を微分して左辺にするときに a が掛けられるので，積分のときは a で割ると考えれば簡単です。
(問題1-3)
sin(2x+1)dx =− +C



e3xdx = +C

(1−4x)7dx = +C

cos(3x+ )dx = + C

.
(例題2)

xdx 		(答案)
= t とおくと，x+1 = t2　 → 　x = t2−1　 →　 = 2t 　→ 　dx = 2t dt

(原式) = (t2−1)･t･2t dt = 2(t4−t2)dt = 2( −)+C

= 2( − )+C = 2( − )+C

※　無理関数を含む場合 = t とおくと，うまく置換積分できます。
簡単な式は，ax+b = t　でもできます。
(問題2-1)

dx 		(答案)
= t とおくと，x+1 = t2　 → 　x = t2−1　 →　 = 　→ 　dx = dt

(原式) = ･2t dt = 2 (t2−1)dt = 2( -t)+C

= 2( − )+C 　･･･(この後 2 でくくることができます。)
(問題2-2)

x dx 		(答案)
= t とおくと，x−1 = t3 　 → 　x = t3+1　 →　 = t2 　→ 　dx = t2 dt

(原式) = (t3+1)･t･3t2 dt = 3 (t6+t3) dt = 3 ( + )+C

= 3 ( + )+C

　･･･(この後 (x−1) でくくることができます。)
.
(例題3)

2xex2+1dx 		(答案)
x2+1 = t とおくと，= 2x 　→ 　dx =

(原式) = 2x et = et dt = et+C = ex2+1+C

※　f(x)dx の f(x) を被積分関数といいます。この問題のように，被積分関数の全部が t に変換できなくても，約分によって x が消えることがあります。これは，f(x)dx の f(x)dx が ...dt になると考えても同じです。
(問題3-1)

sin3x cosx dx 		(答案)
sinx = tとおくと = cosx 　→ 　dx =

(原式) = t3 cosx = t3 dt = +C = +C

※【要点】　sinnx cosx →sinx = tとおく， cosnx sinx → cosx = t とおく。
(問題3-2)

dx 		(答案)
logx = t とおくと， = 　→ 　dx = dt

(原式) = x dt = t dt = +C = +C

.
(例題4)

dx 		(答案)
x2+x+1 = t とおくと，= 2x+1 　→ 　dx =

(原式) = = = log| t |+C = log|x2+x+1|+C

(この式でx2+x+1 は常に正なので，最後の式は log(x2+x+1)+C とできます。

※　一般に，分子が分母の微分となっているときは， となるので，直ちに

log| 分母 |+C とすることができます。(丸もうけです。)
(問題4-1)

dx 		(答案)
被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから
(原式) = log| |+C
(問題4-2)

dx 		(答案)
被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから
(原式) = log(ex+)+C
※　なお，原式の分母は，つねに正だから | | 記号は不要。
(問題4-3)

dx 		(答案)
dx = dx と変形すると， 被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから

(原式) = log||+C
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