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■連続整数の積
【要点】
（解説）（以下，n, kは整数とする） ○連続する２つの整数の積は２の倍数になる．
n(n+1)やn(n−1)は２で割り切れる．
○連続する３整数の積は3!=6の倍数になる．
n(n+1)(n+2)や(n−1)n(n+1)は6で割り切れる．
○連続するｍ個の整数の積はm!の倍数になる．
n(n+1)(n+2)···(n+m−1)はm!で割り切れる．
○nが整数のとき，n(n+1)がつねに２で割り切れることは，次のように示される．
(1) nが偶数（n=2kのとき）ならば，因数nがあるから，
○nが整数のとき，(n−1)n(n+1)がつねに６で割り切れることは，次のように示される．n(n+1)=2k(2k+1)が２で割り切れることは明らか． (2) nが奇数（n=2k+1のとき）ならば，因数n+1があるから， n(n+1)=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1)は２で割り切れる． 以上により，nが偶数であっても奇数であっても，n(n+1)は２で割り切れる．
(*) ２の倍数であることは上で示されている．
○nが整数のとき，n(n+1)(n+2)···(n+m−1)がつねにm!で割り切れることは，次のように示される．３の倍数であることは，次のようにして示される． (1) nが３の倍数（n=3kのとき）ならば，因数nがあるから， (n−1)n(n+1)=(3k−1)(3k)(3k+1)が３で割り切れることは明らか． (2) n=3k+1のとき，因数n−1があるから， (n−1)n(n+1)=3k(3k+1)(3k+2)は３で割り切れる． (3) n=3k+2のとき，因数n+1があるから，(n−1)n(n+1) =(3k+1)(3k+2)(3k+3)=3(3k+1)(3k+2)(k+1)は３で割り切れる． 以上により，nが整数のとき，(n−1)n(n+1)は３で割り切れる． ２でも３でも割り切れ，２と３は互いに素だから，６で割り切れる．
異なるn個のものからm個とってできる組合せの総数nCmは整数であるが，順列・組合せの公式によれば
nCm==
この値が整数になるのだから，n(n+1)(n+2)···(n+m−1)はm!で割り切れる．
めったに見ない公式でなければ，それが公式であることを示せば，黙って使ってよい．
上記の公式はよく登場するので，証明なしに使っても構わない． |
【例１】
nが整数のとき，n(n2+3n−4)は6で割り切れることを示してください． 
（考え方）(n−1)n(n+1) や n(n+1)(n+2)なら6で割り切れることは直ちに言える． ⇒ (n−1)n(n+1)とかn(n+1)(n+2)を作って，残りの部分は後で調整するとよい． （答案） n(n2+3n−4)=n(n−1)(n+4)=n(n−1) { n+1+3 }
とにかく，n(n−1)(n+1)を作る．残りのことは後で考える．
=n(n−1)(n+1)+3n(n−1)ここで，(n−1)n(n+1)は連続３整数の積だから3!=6で割り切れる． 次に，n(n−1)は連続２整数の積だから2で割り切れ，3n(n−1)は6で割り切れる． 以上により，n(n2+3n−4)は6で割り切れる．
【問題１】
nが整数のとき，2n3+3n2+n+1について，次のうちで正しいものを選んでください． 16で割り切れる 26で割ると1余る 36で割ると2余る 46で割ると3余る 56で割ると4余る 66で割ると5余る 解説
2n3+3n2+n+1=n(2n2+3n+1)+1
=n(n+1)(2n+1)+1=n(n+1){ n−1+n+2 }+1 =n(n+1)(2n+1)+1=n(n+1)(n−1)+n(n+1)(n+2)+1 ここで，n(n+1)(n−1)およびn(n+1)(n+2)はそれぞれ連続3整数の積だから６の倍数 したがって，n(n+1)(n−1)+n(n+1)(n+2)+1を６で割ると１余る
→2
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【問題２】
nが整数のとき，n5−nについて，次のうちで正しいものを選んでください． 15でも6でも割り切れない場合がある 2つねに5で割り切れるが，6では割り切れない場合がある 3つねに6で割り切れるが，5では割り切れない場合がある 4つねに30で割り切れる 解説
n5−n=n(n4−1)
=n(n−1)(n+1)(n2+1) =n(n−1)(n+1){ (n−2)(n+2)+5 }
なぜ，(n−2)(n+2)が登場するのか？
=(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+5(n−1)n(n+1)⇒ そうなってほしい（そうなれば連続５整数の積になってうれしい）から，したいことを先にやって，つじつまが合わないところは後で調整する！ ♪〜「やってみないと分からない」♪〜「やってから考える」という立場に立つ ここで(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)は連続５整数の積だから5!=120で割り切れる． (n−1)n(n+1)は連続３整数の積だから3!=6で割り切れ，したがって5(n−1)n(n+1)は30で割り切れる． 以上により，つねに30で割り切れる．
→4
【問題４】
nが5で割り切れない整数のとき，n4−5n2について，次のうちで正しいものを選んでください． 15で割り切れる 25で割ると1余る 35で割ると2余る 45で割ると3余る 55で割ると4余る 解説
n4−5n2=(n2−1)(n2−4)−4
=(n−2)(n−1)(n+1)(n+2)−5+1 ここで，n=5k±1, 5k±2のとき，(n−2)(n−1)(n+1)(n+2)が５で割り切れるから，全体では１余る．
→2
なお，n=1, 2のときなどn4−5n2=−4となって負の整数になりますが，負の整数を５で割ったときの余りは，次の例のように決めます．
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【問題３】
nが整数のとき，n3+5nについて，次のうちで正しいものを選んでください． 16で割り切れる 26で割ると1または5余る 32か3のどちらかで割り切りれない場合がある 44で割り切れる 解説
n3+5n=n(n2+5)
=n { (n−1)(n+1)+6 } =n(n−1)(n+1)+6n ここで連続３整数の積n(n−1)(n+1)は６で割り切れ，6nも６で割り切れるから，n3+5nは６で割り切れる．（2, 3は不可） n=1のときn3+5n=6だから４で割り切れない．
≪そんなに器用に変形できなければどうするのか？≫
n3+5n=n(n2+5) =n { (n+1)(n+2)−3n+3 } =n(n+1)(n+2)−3n(n−1) のように変形した場合でも，同じ結論を示すことができます．
→1
2でも3でも割り切れない整数nはn=6k±1と書ける．（kは整数）
このとき n2+3n+1=(n2−1)+3n+2 =(n−1)(n+1)+3n+2 ここで，n=6k±1のとき，(n−1)(n+1)は６で割り切れる． 次に，3n+2=3(6k±1)+2=6(3k)+5, 6(3k)−1だから，５余る．
→4
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