■三角関数の不定積分携帯版
≪要点≫
(I)三角関数の積は和に直してから積分する
2乗は半角公式で逃げる
(II)f(sinx)cosx , f(cosx)sinx→置換積分
sin3x=(1−cos2x)sinxはその応用
f’/fは即答可能の特急券→log|f|
(III)(多項式、指数関数)×三角関数→部分積分

≪解説≫
(I)三角関数の積は和に直してから積分する
例1
sin2x cos3x dx
右の積→和の公式(3)においてα=2x, β=3xとおくと
sin2x cos3x= { sin(2x+3x)+sin(2x−3x) }
= { sin5x−sinx }
sin2x cos3x dx= (sin5x−sinx)dx
= (− cos5x+cosx)+C
= − cos5x+ cosx+C

例2
cos4x cos3x dx
右の積→和の公式(5)においてα=4x, β=3xとおくと
cos4x cos3x= { cos(4x+3x)+cos(4x−3x) }
= { cos7x+cosx }
cos4x cos3x dx= (cos7x+cosx)dx
= ( sin7x+sinx)+C
= sin7x+ sinx+C



○2乗は半角公式で逃げる
sin2x dxのように被積分関数が三角関数の2乗になって
いるときは、上記の積→和の公式においてα=βとおけば解決できるが、右の(9)’(10)’のように2倍角公式を逆に読んだもの(半角公式)で考える人が多い。
例3
sin2x dx
sin2x dx= dx
= x− +C
※ 三角関数の積分は1つの公式を覚えただけでは解決できず、総合的な力が試される。すなわち、三角関数の積分を行うには、積を和に直す公式、部分分数分解、置換積分、部分積分など幅広い力を要する。

[将来との関連] 三角関数の積分(主に定積分)は高校卒業後に習うフーリエ級数において重要な働きをなしており、このフーリエ級数は様々な分野に使われている。例えば画像圧縮技術にも応用されている。

積→和の公式
加法定理
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ …(1)
sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ …(2)
(1)+(2)
sin(α+β)+sin(αβ)=2sinαcosβ
これにより、次の積→和の公式が得られる
sinαcosβ= { sin(α+β)+sin(αβ) } …(3)

積→和の公式
加法定理
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ …(4)
cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ …(5)
(4)+(5)
cos(α+β)+cos(αβ)=2cosαcosβ
これにより、次の積→和の公式が得られる
cosαcosβ= { cos(α+β)+cos(αβ) } …(6)

積→和の公式には、以上2つの他(4)-(5)によって得られる次の公式がある。
sinαsinβ= − { cos(α+β)−cos(αβ) } …(7)
なお、(1)-(2)で作られるものは(3)のαとβを入れ替えると得られるから必要なものではないが、順序が入れ替わったときに思い違いしないように公式の仲間に入れておいてもよい。
cosαsinβ= { sin(α+β)−sin(αβ) } …(8)

半角公式
加法定理
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ …(4)
において、α=βとおくと余弦(cosθ)に関する2倍角公式が得られる。
cos2α=cosαcosαsinαsinα
=cos2αsin2α
=1−2sin2α …(9)
=2cos2α−1 …(10)
(9)より
sin2α= …(9)’
(10)より
cos2α= …(10)’
(9)’(10)’より
tan2α= …(11)’
≪問題1≫ 次の不定積分を求めよ。
(正しいものを選べ。暗算ではできないので計算用紙が必要。)
(1)
cos2x sinx dx
+ +C +C
+ +C +C
(2)
sinx sin3x dx
+C + +C
+C + +C
(3)
cos23x dx
+ +C +C
+ +C +C
(II)f(sinx)cosx , f(cosx)sinx→置換積分
例4
sin2x cosx dx

置換積分を行う

sinx=tとおくと =cosxdx=
sin2x cosx dx=t2 cosx = +C
= +C

例6


= =
置換積分を行う
cosx=tとおくと = −sinxdx= −
= dx= dx
= = dt= ( )dt
= (log|t−1|log|t+1|)+C= log|| +C
= log|| +C= log( ) +C
1−cosx0 , 1+cosx0で、等号のとき | | があってもなくても定義されない事情は同じ
○ sin3x=(1−cos2x)sinxはその応用
例5
sin3x dx

sin3x=sin2x sinx=(1−cos2x)sinx
置換積分を行う
cosx=tとおくと = −sinxdx= −
sin3x dx=(1−cos2x)sinx dt
=(1−t2)sinx = (t2−1)dt
= −t+C= cosx+C

例7
(1) dx (2)tanx dx

○  dx=log|f(x)|+Cは即答可能の特急券
f(x)=tとおくと =f’(x)dx=
dx = =log|t|+C
=log|f(x)|+C
そこで
「分子が分母の微分」→(即答可能の特急券)
log|分母|が答

(1) dx= dx=log|1+sinx|+C
この| |は( )に換えてもよい
(2) tanx dx= − dx= −log|cosx|+C
≪問題2≫ 次の不定積分を求めよ。
(正しいものを選べ。暗算ではできないので計算用紙が必要。)
(1)
cos3x sinx dx
+C +C
+C +C
(2)
cos3x dx
sinx+ +C sinx − +C
cosx+ +C cosx − +C
(3)
log( )+C log( )+C
log( )+C log( )+C
(4)
dx .
log|sinx+cosx|+C log|sinx−cosx|+C
| |+C | |+C
(III)(多項式、指数関数)×三角関数→部分積分
例8
x sinx dx

x sinx dx=−xcosx−1·(−cosx)dx=−xcosx+cosx dx
=−xcosx++sinx+C
部分積分
f’(x)g(x) dx=f(x)g(x)−f(x)g’(x)dx
多(単)項式は微分する側(次数を下げる側)に選ぶ
f’=sinxf=−cosx
g’=1g=x
例9
exsinx dx

exsinx dx=Iとおく
I=exsinx−excosx dx
=exsinx−(excosx−exsinx dx)=exsinx−excosx−I
2I=ex(sinx−cosx)
I= ex (sinx−cosx)+C
(積分定数は最後に1つ付ければよい)
未知関数Iの”方程式”を作って解く
”同じ向き”に2回部分積分を行う
I=···−Iになれば解ける。→2I=···
I=···+Iになれば解けない。→消えてしまう
1回目の部分積分
f’=exf=ex
g’=cosxg=sinx

2回目の部分積分
s’=exs=ex
t’=−sinxt=cosx
≪問題3≫ 次の不定積分を求めよ。
(正しいものを選べ。暗算ではできないので計算用紙が必要。)
(1)
x cosx dx
x cosx+sinx+C x cosx−sinx+C
x sinx+cosx+C x sinx−cosx+C
(2)
e−2x cosx dx
e−2x(sinx+cosx)+C e−2x(sinx−2cosx)+C
e−2x(sinx+cosx)+C e−2x(sinx−2cosx)+C

■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の不定積分について/17.6.15]
例5は(cos3x/12)-(3sinx/4)+Cでもあってますか?
=>[作者]:連絡ありがとう.三倍角公式を逆に解いて,被積分関数を三角関数の1次式に直すのは「あり」です.ただ,結果は少し違うようです.
だから




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