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== 循環小数の計算 ==
《 解説 》
■同じ数字だけが繰り返し現れる小数を循環小数といいます.
 一つの数字が繰り返されるときは,その数字の上のドット(・)を付けて表わします.
 二つ以上の数字のかたまりが循環しているときは,循環する数字の両端(だけ)にドット(・)を付けます.


■循環しない部分(先頭部分だけ)と循環する部分があるとき,小数の循環する部分について循環する数字の両端(だけ)にドット(・)を付けます.(上の例のように循環する小数だけからなるものを純循環小数,この例のように循環しない部分と循環する部分からなるものを混循環小数ということがあります.)


■循環小数は,無限等比級数の和の考え方で分数に直すことができます.
 <例1>
  0.111111・・・・ = 0.1+0.01+0.001+0.0001+・・・ は,初項0.1,公比0.1の無限等比級数だから,
 和は,です.
 <例2>
  0.565656・・・ = 0.56+0.0056+0.000056+・・・ は,初項0.56,公比0.01の無限等比級数だから,
 和は,です.

※ 公式を作ることもできますが,覚えるほどのものでもないでしょう.



■循環小数の和差積商は,分数を経由して循環小数に直すことができます.
 <例3>
 次の値を循環小数で表わしなさい.
 (最後のところで,分数を小数に直すには,割り算によります.)



《問題》 次の値に等しいものを右の欄から選びなさい.



[第1問 / 全16問]





(参考)
 1=0.9999・・・ です.同様にして,2=1.99999・・・です.
 このようにして,(0以外の)すべての有限小数は,有限小数による表記と循環小数による表記の二つの表記法を持ちます.むしろ無限小数の表記法にそろえれば,有理数、無理数のいずれも末尾に0が並ばない無限小数でただ一通りに表わされることになります.(0だけは末尾に0が並びます.)これにより,すべての桁が同じ小数は同一の数を表わし,一つの桁でも異なるときは異なる数を表わすことになります.
・・・(この原理はカントールの対角線論法にも使われています.)
 循環しない無限小数(=無理数),循環する無限小数(=有理数)いずれの場合でも,すべての位の数が確定すれば,それは一つの数を表わすのは自明あって,そのような数が存在することの証明を高校生に要求するのは酷でしょう.(たとえば, 0.101001000100001000001・・・は循環しない無限小数だから,無理数です.しかし,これが「数」であることの証明は必要か?)
 そこで,次のような答案を私は正解にしますが,他の先生なら”収束することが証明されていない”という観点から(誤答とはしないまでも)減点の対象とするかもしれませんので,お勧めはしません.
<例1>
0.11111・・・ を分数で表わしなさい.
<答案>
   x=0.11111・・・ (1) とおく.
10x=1.11111・・・ (2) だから,
(2)-(1) より 9x=1
ゆえに x=1/9・・・(答)

<例2>
0.121212・・・ を分数で表わしなさい.
<答案>
     x=  0.121212・・・ (1) とおく.
100x=12.121212・・・ (2) だから,
(2)-(1) より 99x=12
ゆえに x=12/99=4/33・・・(答)


 収束の証明が要求されていないとき,能率よく分数に直すために,この方法を用いることができます.(ヒケツは,循環節の長さだけ「頭出しする」ところにあります.)


(小話)
 どこかの修学旅行で、バスの中で誰かが出したクイズ:
次の記号はある人の仕事を表わしています。何の仕事でしょう?
「2.999・・・」
 出題者の解答は「ほぼ3」→「保母さん」でしたが、数学的には、「2.999」は「ほぼ3」ですが、「2.999・・・」は「正確に3」「きっちり3」「ちょうど3」でしょう。場がしらけるといけないので黙っていましたが、「・・・」を付けると無限小数になるので、「・・・」なしで出題すべきです。
(※今日の用語では保母→保育士)

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■東京都[TKさん/17.6.19]
純循環小数と、混循環小数について、それぞれの数を分数に直した時に何か規則性はありますか?
=>[作者]:連絡ありがとう.市販の公式集に出ていますが,次のようになるので規則性はあると言えるでしょう.
【純循環小数】小数第1位から循環節が始まり,循環節の長さがn桁であるとき
の場合
両辺に10000を掛けて頭出しをすると


(小数点以下が同じになって,引けば消えるところがミソ)
(約分できるときは約分してまとめる.以下同様)
一般に,循環節の長さがn桁の純循環小数の場合

のように,分子がn桁の循環節になり,分母が9をn個並べた数字になります.
【混循環小数】小数第1位からm桁まで循環しない部分があって,その下に循環節の長さn桁の循環部分が続くとき(循環しない先頭部分には整数があってもかまわないがここでは整数部分のない例で示す)
の場合
両辺に10000000を掛けて頭出しをすると

両辺に1000を掛けて頭出しをすると



一般に,小数第1位からm桁まで循環しない部分があって,その下に循環節の長さn桁の循環部分が続くときの場合

になります.
※これらの計算自体は,無限等比級数の和について詳しく理解していなくても,「頭出しして引くだけでできる」ので,昭和30年代の田舎の公立中学校で普通に習った覚えがある.(教科書には載っていなかったかも)
■[個別の頁からの質問に対する回答][循環小数の計算について/17.3.30]
ある数に属するすべての位の数は確定しません。言い換えると、ある数のすべての位は集合を作りません。(ある数の小数点以下のすべての位は集合を作ります。) 循環する数字の9に対する比ではいけないでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.そもそも誰が何を言っているのかが伝わりません.この文章は筆者の言葉ではありません.また,どこかの書物なりWeb記事なりにこのような文章が書いてあるはずがありません.とすると,あなたがそう思うということですか?
質問の仕方が変ですが,たぶんあなたの独自学説だろうと考えて,回答します.
前半の文章は,数学用語を間違った使い方で使っておられるので,支離滅裂で意味をなしていません.最後の「9に対する比」という質問に対しては,あなたの思考に即して循環部分だけについていうと,上の例題で述べているように,循環節のながさが1のときは9に対する比になります(n/9)が,循環節の長さが2のときは99に対する比,・・・循環節の長さがnのときは999・・・9(n桁)に対する比になります.