■分数の指数(有理数の指数)→ 携帯版
【はじめに】
分数(有理数)の指数が付いている式は累乗根で表される式と同じものです.多くの場合,分数の指数を使って計算する方が累乗根のまま計算するよりも簡単になります.
■分数(有理数)の指数の定義
a>0であってm, nが正の整数であるとき
a=と定義します.
特に
a=
a=

負の指数と組み合わせるときは,次のようになります.
a=
a=
a=
(解説)
≪具体例で考える≫
(ax)y=axyという指数法則が自由に使えるようにしたい.たとえば,(ax)3=a5となるxを求めたいとき
○指数法則が成り立つようにするには
(ax)3=a53x=5x=
すなわち,
a
という分数の指数を考える必要がある.
このとき,
(a)3=a5…(1)
という計算を考えていることになる.

○他方で,累乗根について次の関係がある.
( )3=a5…(2)

○(1)(2)からa=
と定義すればよいこと分かる.

≪一般に≫
指数法則によれば
(a)n=am
他方で,累乗根の定義によれば
( )n=am
したがって
a= (>0)と定義するとよい.
○ 数の種類と演算の関係
 小学校では分数を習い,中学校では負の数,無理数(根号の付いた数)を習いましたが,このような数の種類の拡張は「割り算」や「引き算」のような演算の結果を表すために行われます.つまり,[数の種類→演算の考案]の順ではなく,[演算を自由に行う必要→数の種類の拡張]というように演算の結果を表す必要を優先的に考えて,これに応えられるように数の範囲を拡張したものです.

5÷3という演算の結果を表したい→分数を考えた.
3−5という演算の結果を表したい→負の数−2を考えた.
x2=3という方程式の解を表したい→無理数±を考えた.

○ (同様にして)指数の種類と演算の関係の考え方
(中学校:指数が登場),(高校数学II:負の指数が登場),(高校数学II:分数の指数が登場)と広げていくのは指数法則を自由に行うために必要だからです.

a3÷a5という演算の結果を表したい→負の指数a−2を考えた.
(ax)3=a5となるxを表したい→分数の指数aを考える.
≪要点≫

(1)8=
8=(23)=2=22=4
====4
(2)32=
32=(25)=2=21=2
==2
(3)9=
9=(32)=3=31=3
==3
a, b>0であってp, qが有理数(分数または整数)のとき,次の計算法則が成り立つ.
apaq=ap+q …(1)
ap÷aq=ap−q …(2)
(ap)q=apq …(3)
(ab)p=apbp …(4)
()p= …(5)
例(2),問題2(3)(4),問題3(4),問題4(2)〜(5)のように問題が累乗根で書かれているときは,途中経過は分数の指数を使って行い,答を累乗根で書く必要があれば,結果を書き直すようにします.(累乗根のまま途中経過をやってしまうと計算が複雑になります.)
次の式を簡単にしてください.結果は負の指数や有理指数を使わずに表してください. (a, b>0)

(1)a×a =a+(−)=a=a =

(2)÷ =(32)÷3 =3÷3=3=3=3 =

(3)(9) =((32))=32×(−=3 =

(4)(ab)×(ab)2
=a×(−)b×(−)×a×2b×2
=ab×ab =a+(−)b+ =a−1b
=


問題1a>0のとき,次の累乗根をaxの形で表しなさい.(正しいものを選びなさい。)
(3)


a a a a
(4)


a2 a−2 a a
問題2次の式の値を求めなさい.(正しいものを選んでください.)
問題3次の式の値を求めなさい.(空欄を埋めてください.)
(1) 3×9×27=
採点するやり直す
(2) 6−2×27÷12=
採点するやり直す
(3) 24−1×18÷12=
採点するやり直す
(4) =
採点するやり直す
問題4a, b>0のとき,次の式を簡単にしなさい.(正しいものを選んでください.)
(4) ÷

1 a
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