【実習１】
○　右の≪図１≫において，青で示した曲線は
.y=x3−x
黒で示した曲線は
.y=x3
緑で示した曲線は
.y=x3+x
赤で示した曲線は
.y=x3+ax…(*)
です．

○　右図の赤で示した縦のスケールを適当にクリックして，(*)の曲線のaの値を変えてください．

a=0の場合は，なんでだめなんだよ〜

いい質問ですね．あとでゆっくりお話しします．(*)

【実習２】
○　右の≪図２≫において，青で示した曲線は
.y=−x2+x
緑で示した曲線は
.y=−2x2+4x
赤で示した曲線は
.y=−ax2+(3a−2)x…(**)
です．

○　右図の赤で示した横のスケールを適当にクリックして，(**)の曲線のaの値を変えてください．

aの値

■極大と極小
○導関数f '(x)の符号が正から負に変わるとき，関数f(x)は増加から減少に変化し，その点で極大値をとる．

○導関数f '(x)の符号が負から正に変わるとき，関数f(x)は減少から増加に変化し，その点で極小値をとる．

○極大値と極小値を合わせて極値という．

※単にf '(x)=0となっているだけでは，極大値か極小値かわからないだけでなく，極値でない場合がある．
　次の図の点Aにおいては，f '(x)=0であるが，その符号は「正→正」だから「符号は変化しておらず，Aでは極値とならない」．
　図の点Bにおいても，f '(x)=0であるが，その符号は「負→負」だから「符号は変化しておらず，Bでは極値とならない」．

≪要点≫
(1)　極値となる条件
　微分可能な関数f(x)が，x=pにおいて極値となるための条件は，x=pの前後でf '(x)の符号が変化することである

(2)　３次関数が極値をとる条件
　３次関数f(x)が，極値をもつための条件は，
２次方程式f '(x)=0が異なる2つの実数解をもつことである

a<b　⇔　f(a)<f(b) が成り立つとき，その区間において単調増加関数であるという．

a<b　⇔　f(a)>f(b) が成り立つとき，その区間において単調減少関数であるという．

a<b(<0)，例えばa=−2, b=−1のとき
.f(a)=−8<f(b)=−1は明らかでしょう．
(0<)a<b，例えばa=1, b=2のとき
.f(a)=1<f(b)=8は明らかでしょう．
a<0<b，例えばa=−1, b=2のとき
.f(a)=−1<f(b)=8は明らかでしょう．

a<0, b=0，例えばa=−1, b=0のとき
.f(a)=−1<f(b)=0が成り立つ．
a=0, b>0，例えばa=0, b=1のとき
.f(a)=0<f(b)=1が成り立つ．

（数学の答案としては，
b3−a3=(b−a)(b2+ba+a2)の後ろの因数を平方完成して示すのが普通）

【例題１】
実習１の問題を次の形にする．

a=0の場合は，だめです

【例題２】
実習２の問題を次の形にする．

a=1, 2の場合は，だめです

【例題３】
　関数f(x)=2x3−6ax2+6x−2が極値をもたないような定数aの値の範囲を求めてください．

上で解説したように，D'=0 ⇔ a=±1のときも極値がないことに注意してください．

【例題４】
　関数f(x)=x3+3x2+3ax−1がつねに増加となるように定数aの値の範囲を求めてください．

上で解説したように，
D'=0 ⇔ a=1
のときも含めて，
「極値がない」→「つねに増加」
となることに注意してください．

【問題１】
　関数f(x)=x3+3ax2+(3a+6)x+1が極値をもつような定数aの値の範囲を求めてください．解説

1−1<a<2 2−1≦a≦2
3a<−1, 2<a 4a≦−1, 2≦a

導関数を求める
.f '(x)=3x2+6ax+(3a+6)=3{ x2+2ax+(a+2) }
２次方程式x2+2ax+(a+2)=0について
.判別式D'=a2−a−2>0
.(a+1)(a−2)>0
.a<−1, 2<a…3…（答）

【問題２】
　関数f(x)=2x3−3ax2+6x+2が極値をもたないような定数aの値の範囲を求めてください．解説

1−2<a<2 2−2≦a≦2
3a<−2, 2<a 4a≦−2, 2≦a

導関数を求める
.f '(x)=6x2−6ax+6=6(x2−ax+1)
２次方程式x2−ax+1=0について
.判別式D=a2−4≦0
.(a+2)(a−2)≦0
.−2≦a≦2…2…（答）

【問題３】
　関数f(x)=x3+ax2+bx+cが極値をもつとき定数a, bの存在する範囲を図示してください．解説

導関数を求める
.f '(x)=3x2+2ax+b
（cは影響しない）
２次方程式3x2+2ax+b=0について
.判別式D'=a2−3b>0
.b<…3…（答）

【問題４】
　関数f(x)=x3+3(a+1)x2+6x+9がすべての区間で単調増加となるような定数aの値の範囲を求めてください．
解説

1−1−<a<−1+
2−1−≦a≦−1+
3a<−1−, −1+<a
4a≦−1−, −1+≦a

導関数を求める
.f '(x)=3x2+6(a+1)x+6=3{ x2+2(a+1)x+2 }
２次方程式x2+2(a+1)x+2=0について
.判別式D'=(a+1)2−2≦0
.−≦a+1≦
.−1−≦a≦−1+…2…（答）

【問題５】
　関数f(x)=ax3+6x2+(3a−9)x+9がすべての区間で単調増加となるような定数aの値の範囲を求めてください．
解説

1a≦−1, 4≦a 2a<−1, 4<a
3a≧4 4a≦−1

　a=0の場合は２次関数になり，増加の区間も減少の区間もできますので，a≠0でなければなりません．
　a<0の場合は極値があるときでも，極値よりも外の区間で減少となるので，aは負であってはいけません．
　以上により，少なくともa>0でなければなりません．…(1)
導関数を求める
.f '(x)=3ax2+12x+(3a−9)=3(ax2+4x+a−3)
２次方程式ax2+4x+a−3=0について
.判別式D'=4−a(a−3)=−(a2−3a−4)≦0
.a2−3a−4≧0
.(a+1)(a−4)≧0
.a≦−1, 4≦a…(2)
(1)(2)より
.a≧4…3…（答）

こんにちは、いつも勉強の参考にさせてもらっています。 ３次関数（文字係数と極値）の問題３について、答えは３番を押すと〇となるのに、 HELPを開くと２番が答えとなっています。 環境はPCです。対応宜しくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答（採点）は正しくて，HELPの中に書いてある記号[2]が間違っていましたので訂正しました．

例題１の（イ）の増減表の中で，x=aのとき極大値をとるというのは誤りではないでしょうか．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ポカミスにしてはやや大きめのミスでした．訂正しました．