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部分分数分解

《解説》
■小中学校で異分母の分数の足し算・引き算をするときには,通分によって行います.
通分の例:

■次に説明する部分分数分解は,一言で言えば「通分の逆」です.
部分分解の【例1】 

部分分数分解により,中間の項が消えて和が求まります.

上の計算で,中間項の消え方を調べるには,縦書きにすると」符号が逆の対を見つけやすくなります.

・・・答は1/3

○部分分数分解を用いた中間項の消去は,対となる項を見つけることがポイントですが,これは横書きのままでは分からなくても,縦書きにすれば見つかります.
【例2】
(考え方)


■以上の内容についての理論的な説明:
 分数に限らず,一般に
{f(k)-f(k+1)},{f(k+1)-f(k)},{f(k)-f(k-1)},{f(k-1)-f(k)}のように数列f(k)の次または前の項との差であらわされるものの和は,
 のように中間項が消えて,その両端が残ります.(隣の項でなく,1つ向こうの項との差で表されるときは,前後2項ずつが残ります).そこで,f(k)-f(k+1)のような形に直すことができれば,和が容易に求められます.
【例3】 
【例4】

■一般に,(ある式)=f(k+1)−f(k)となる式f(k)は,元の式の次数を1次上げたものに見つかります(数IIで習う積分と同じです.):例1,例2の式はk−2なので、k-1の式の差で表現できます.例3の式はk−1/2なので、k+1/2の式の差で表現できます.例4の式はk3なので、k4の式の差で表現できます.(元の式がk-1のときはどうにもなりません:1+1/2+1/3+1/4+・・・.)

■上記の縦書きの変形で,高校の定期試験,大学の入学試験などにも十分対応できると考えられますが,さらに美的・論理的な変形を好まれる場合には次のように記述するとよいでしょう.
  {f(k)-f(k+1)}=f(k)-f(k+1)
f(k)-f(k)
=f(1)-f(n+1)

【以上の要約】
  • Σ(kのn次式)は,Σ{kのn+1次式の差}で表すことができるとき,中間項が消えて簡単になります.
  • 中間項の消え方(両端の残り方)は縦書きにするとよく分かります.
  • この原理は,部分分数分解によく用いられますが,分数以外でも使えます.


*** はじめてやる人には,たぶん難しい
⇒ HELPも見ながら,ゆっくりやるべし ***
《問題》
 左辺に等しいものを右辺から見つけなさい.(この右辺は,答案の最終形ではさらに通分などによりまとめるものとしますが,ここでは途中経過で表示します.)左辺から1つ選び,続けて右辺から1つ選びなさい.合っていれば消えます.
○初めに左の式を選び,続いて右の式を選んでください.
○間違った場合,HELPを読む場合でも読まない場合でも[やり直す]を押せば,解答を再開できます.




















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■[個別の頁からの質問に対する回答][部分分数分解について/17.5.18]
部分分数分解の問題コーナー(分子に(3k+2)がある問題)で解答に原式が1次/3次だから2次/3次の差にすると書いてありますが、計算過程を見ると1次/2次の差になっていると思います。1次上げるために分母を1次下げ、差にしたと解釈してよいのでしょうか。
=>[作者]:連絡ありがとう.ご指摘の通りでしたので訂正しました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][部分分数分解について/17.3.7]
この説明で、<f(k)-f(k+1)を使ったΣ>の全容がわかりました。素晴らしい解説です!感謝です。
=>[作者]:連絡ありがとう.