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== 数列の漸化式と極限 ==
【要点】
 この頁では,漸化式で与えられた数列の極限について,次の3つの場合について学習します.

(I)一般項を求めることができ,求めた一般項から極限が求められる場合
【例】

から

が求まり,これにより

が示される  →(解説に飛ぶ)
(II)一般項を求めることはできないが,極限値の必要条件を絞り込むことができ,その極限値に収束することが証明できる場合
【例】

が極限値を持つとすれば

が必要条件になる.次に十分条件を検討すると,

が満たされていることから

が示される  →(解説に飛ぶ)
(III)別の数列の極限との関係から問題の数列の極限が求まる場合
【例】

のとき

とおけば


から

が示される  →(解説に飛ぶ)


右上に続く↑
(I)の解説 *** 一般項を求めることができ,求めた一般項から極限が求められる場合
【例題 1.1】
 次の条件によって定められる数列 {an} の極限を求めてください.
2項間漸化式

2項間の分数形の漸化式

3項間漸化式

については,一般項が求まる場合があります.このような場合には,一般項から極限を求めることができます.
(解答)
…(*)
と変形すると,数列は初項 ,公比の等比数列をなすから


ゆえに
…(答)
※ 漸化式
…(1)
に対して

特性方程式と言います.特性方程式の解(不動点)を用いると,漸化式(1)は

と変形できます.(特性方程式については,この頁の下端に解説があります.)

 なお,答案作成上は特性方程式にも不動点にも触れずに,上記の答案のように(なぜその変形を思いつくのかという理由を示さなくても,偶然思いついたかのようなふりをしながら)
に変形してもよい.(正しい変形であることは係数を比較すれば分かる)
 「特性方程式」はうまく使えば切れに決まりますが,教科書には登場しません.「使える場面と使えない場面の違い」「αの意味」など自信が持てないときは次のような答案も可能です.
(別解)
もしそのような定数αが存在したら,が等比数列になってうれしいから,あれば求めるという立場に立つ
(存在しなければ,別の方法を試みるという腹つもりで)
…(*)
となる定数を求める.
…問題
…(*)
の係数を比較すると


 そこで,
が成り立つことになる.
 数列は初項 ,公比の等比数列をなすから


ゆえに
…(答)


■■問題 1.1■■
 次の漸化式で定まる数列の極限を求めてください.
(暗算では無理です.各自で計算用紙で求めてから,下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
(2)

(I)の解説(続き)*** 一般項を求めることができ,求めた一般項から極限が求められる場合…3項間漸化式
【例題 1.2】
 次の条件によって定められる数列 {an} の極限を求めてください.
(解答)

となる定数を求める.

だから,は和が,積がとなる2数で,2次方程式

の解になる.
…(A)

または
…(B)

(A)より,
数列は初項 ,公比の等比数列をなすから
…(C)
(B)より,
数列は初項 ,公比の等比数列をなすから
…(D)
(D)−(C)より

ゆえに
…(答)

■■問題 1.2■■
 次の漸化式で定まる数列の極限を求めてください.
(暗算では無理です.各自で計算用紙で求めてから,下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
(2)

(この頁の先頭へ戻る)

(II)の解説*** 一般項を求めることはできないが,極限値の必要条件を絞り込むことができ,その極限値に収束することが証明できる場合
【例題2】
 次の条件によって定められる数列 {an} の極限を求めてください.
この問題では一般項は求められませんが,極限値は求まります

が示せれば極限値がであるといえますが,そのためには前もっての見当をつけておく必要があります
(解答)
 もし,数列 {an} に極限値が存在するとすれば,は次の方程式を満たすはずである.
極限値があるとすれば,これを満たすはずである,他にはない,という絞り込みを行っている
すなわち,極限値の必要条件を求めている
…(A)
両辺を2乗すると



(A)によりだから


 次に,実際にに収束することを示す.
問題の式の両辺から2を引くと


ここで

だから



したがって

以上により
…(答)

■■問題 2■■
 次の漸化式で定まる数列の極限を求めてください.
(暗算では無理です.各自で計算用紙で求めてから,下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
(2)

(この頁の先頭へ戻る)

(III)の解説 *** 別の数列の極限との関係から問題の数列の極限が求まる場合
【例題3】
 次の条件を満たす数列 {an} の極限を求めてください.
この問題では未知の数列 {an} で表される別の数列の極限が与えられていることになります.

このような場合,いきなり数列 {an} の極限を考えるのではなく,とおいて,有限の値nの段階でanbnで表すように「逆に解くと」見通しがよくなります
(解答)
仮定より

とおくと,



仮定により

だから
…(答)
(注意)
 この問題で,次のような答案を書けば部分点として5割もないかもしれない.
この答案は,{an} の極限値αがあると仮定して必要条件を求めていることになる

実際にその値に収束すること(十分条件)が示されていないことが問題






■■問題 3■■
 各々指定された極限を求めてください
(暗算では無理です.各自で計算用紙で求めてから,下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
のときを求めてください.
(2)
のときを求めてください.
(3)
のとき

i) を求めてください.
ii) を求めてください.

■■注意■■
を代入しても極限値が求まるとは限らない

(失敗例1)
 定期テストを一夜漬けで間に合わせた高校生が,次のような答案を書くことがありますが,部分点は2,3割しかありません.
より
 これは,極限値がになると仮定すれば,その値はでなければならない(この他にはない)という必要条件を示したもので,実際に極限値が存在すること(その値に収束すること)を示していない答案となっています.
 極限値が存在することを何らかの方法で示さなければダメです.

(失敗例2)

のとき

から

と答えている場合

 右図のようにanは常に正の値をとり,無限大に発散します(an→∞).
 だから,an→−1ということはありません.
 このという解は,
何らかの事情でanの値に,はまり込んでしまったら,an+1以降の値も次々にその値にはまり込んでしまって抜け出せなくなる値(不動点:ブラックホールのようなもの)
<特性方程式の解が不動点>
を表しています.
 実際,右図で中塗りになった赤丸(のx座標)が不動点になっており,となっている場合はa1=−1, a2=−1, a3=−1, ...となって,以降のすべての項はこの値から抜け出られません.
 ところが,元の問題ではa1=1なので,結局一度もこの値になることはなく,

だから,αが凹レンズの焦点の位置にあって,そこから発散していくことになります.


(失敗例3)

のとき

から

と答えている場合

 特性方程式は「定数係数」の漸化式にしか使えないので,変数nが係数になっているような漸化式には使えないと考えた方がよい.
 実際,上記の漸化式の一般項はになり,この数列は収束しません.

(失敗例4)
 3項間漸化式の特性方程式は

ではありません.

です.【例題 1.2】の解説に書いてあります.

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■[個別の頁からの質問に対する回答][数列の漸化式と極限について/16.11.27]
問題1.1(2)解説の特性方程式で求めた値が違うと思われる
=>[作者]:連絡ありがとう.解説の途中経過で符号が逆になっていましたので訂正しました.結果は変更なしです.