この頁では,漸化式で与えられた数列の極限について,次の3つの場合について学習します.
(I)一般項を求めることができ,求めた一般項から極限が求められる場合
(II)一般項を求めることはできないが,極限値の必要条件を絞り込むことができ,その極限値に収束することが証明できる場合
(III)別の数列の極限との関係から問題の数列の極限が求まる場合
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(I)の解説 *** 一般項を求めることができ,求めた一般項から極限が求められる場合
【例題 1.1】
次の条件によって定められる数列 {an} の極限を求めてください.
2項間漸化式
(解答)2項間の分数形の漸化式 3項間漸化式 については,一般項が求まる場合があります.このような場合には,一般項から極限を求めることができます. …(*) と変形すると,数列は初項 ,公比の等比数列をなすから ゆえに …(答) ※ 漸化式 …(1) に対して を 特性方程式と言います.特性方程式の解(不動点)を用いると,漸化式(1)は と変形できます.(特性方程式については,この頁の下端に解説があります.) なお,答案作成上は特性方程式にも不動点にも触れずに,上記の答案のように(なぜその変形を思いつくのかという理由を示さなくても,偶然思いついたかのようなふりをしながら) をに変形してもよい.(正しい変形であることは係数を比較すれば分かる)
「特性方程式」はうまく使えばきれいに決まりますが,教科書には登場しません.「使える場面と使えない場面の違い」「αの意味」など自信が持てないときは次のような答案も可能です.
(別解)
もしそのような定数αが存在したら,が等比数列になってうれしいから,あれば求めるという立場に立つ
…(*)(存在しなければ,別の方法を試みるという腹つもりで) となる定数を求める. …問題 …(*) の係数を比較すると そこで, が成り立つことになる. 数列は初項 ,公比の等比数列をなすから ゆえに …(答) |
■■問題 1.1■■ 次の漸化式で定まる数列の極限を求めてください. (暗算では無理です.各自で計算用紙で求めてから,下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
と変形すると,数列は初項 ,公比の等比数列をなすから ゆえに …(答)
(2)
と変形すると,数列は初項 ,公比の等比数列をなすから ゆえに …(答) |
(I)の解説(続き)*** 一般項を求めることができ,求めた一般項から極限が求められる場合…3項間漸化式
【例題 1.2】
(解答)次の条件によって定められる数列 {an} の極限を求めてください. となる定数を求める. だから,は和が,積がとなる2数で,2次方程式 の解になる. …(A) または …(B) (A)より, 数列は初項 ,公比の等比数列をなすから …(C) (B)より, 数列は初項 ,公比の等比数列をなすから …(D) (D)−(C)より ゆえに …(答) |
■■問題 1.2■■ 次の漸化式で定まる数列の極限を求めてください. (暗算では無理です.各自で計算用紙で求めてから,下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
となる定数を求める. と の 係数を比較すると は和が,積がとなる2数で,2次方程式 の解になる. …(A) または …(B) (A)より, 数列は初項 ,公比の等比数列をなすから …(C) (B)より, 数列は初項 ,公比の等比数列をなすから …(D) (C)−(D)より ゆえに …(答)
(2)
となる定数を求める. と の 係数を比較すると は和が,積がとなる2数で,2次方程式 の解になる. …(A) または …(B) (A)より, 数列は初項 ,公比の等比数列をなすから …(C) (B)より, 数列は初項 ,公比の等比数列をなすから …(D) (D)−(C)より ゆえに …(答) →(この頁の先頭へ戻る) |
■■問題 2■■ 次の漸化式で定まる数列の極限を求めてください. (暗算では無理です.各自で計算用紙で求めてから,下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
極限値をとすると
…(A) 両辺を2乗すると (A)によりだから (必要条件) 次に,が十分条件を満たすことを示す. 問題の式の両辺から3を引くと ここで だから したがって 以上により …(答)
(2)
極限値をとすると
…(A) (A)によりならばとなり, によりすべてのnについてが成り立つ したがって, (必要条件) 次に,が十分条件を満たすことを示す. 問題の式の両辺から1を引くと ここで だから したがって 以上により …(答) ※この問題では数列の一般項を求めることもできるが,極限値だけが必要な場合は,上記のように一般項を求めずに極限値を求めることができる. →(この頁の先頭へ戻る) |
■■問題 3■■ 各々指定された極限を求めてください (暗算では無理です.各自で計算用紙で求めてから,下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
のときを求めてください. とおくと, 仮定により だから …(答)
(2)
のときを求めてください. とおくと, 仮定により だから このとき …(答)
(3)
のとき i) を求めてください.
i)
とおくと, だから …(答)
ii) を求めてください.
ii)
だから …(答) |
[注]直前にPC版から入られた場合は,自動転送でスマホ版に来ていますので,ブラウザの[戻るキー]では戻れません(堂々巡りになる).下記のリンクを使ってメニューに戻ってください.
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■[個別の頁からの質問に対する回答][数列の漸化式と極限について/17.4.23]
問題1.2(1)解説下から5行目(D)-(C)は(C)-(D)と思われる
■[個別の頁からの質問に対する回答][数列の漸化式と極限について/16.11.27]
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました. 問題1.1(2)解説の特性方程式で求めた値が違うと思われる
=>[作者]:連絡ありがとう.解説の途中経過で符号が逆になっていましたので訂正しました.結果は変更なしです. |