== 展開公式1 ==(例題→選択問題)

基本的な乗法公式(展開公式)
[I]  (a+b)2=a2+2ab+b2
[II]  (a−b)2=a22ab+b2
[III]  (a+b)(a−b)=a2−b2
[I]の例
(x+3)2=x2+2·x·3+32=x2+6x+9
(4x+1)2=(4x)2+2·(4x)·1+12=16x2+8x+1
x だけでなく,係数も2乗することを忘れないこと.
[II]の例
(x5)2=x22·x·5+52=x2−10x+25
(2x3y)2=(2x)22·(2x)·(3y)+(3y)2=4x2−12xy+9y2
x , y だけでなく,係数も2乗することを忘れないこと.
[III]の例
(x+6)(x6)=x262=x2−36
(2x+3y)(2x3y)=(2x)2(3y)2=4x2−9y2
x , y だけでなく,係数も2乗することを忘れないこと.
問題1 次の式を展開せよ.
(下の選択肢から正しいものを選べ)
(1) (x+5)2
(2) (3x−5)2
(3) (3x+5)(3x−5)

[IV]  (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
[V]  (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
[IV]の例
(x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+2·3=x2+5x+6
和が x の係数で,積が定数項になる.(逆にする間違いが多い)
(x+4)(x7)=x2+{4+(−7)}x+{4·(−7)}=x2−3x−28
(x+4y)(x7y)
=x2+{4y+(−7y)}x+{4y·(−7y)}
=x2−3xy−28y2
前の式に y を付けただけと考えると後で困る.係数が 4y , −7y だと考えること.

[V]はバラバラにして集める「やりかた」が身に付いておればよく,結果を「覚える」必要はない.
(2x1)(x+3)=2x2+6x−x−3=2x2+5x−3
問題2 次の式を展開せよ.
(下の選択肢から正しいものを選べ)
(1) (x+5)(x+1)
(2) (x+7)(x−5)
(3) (x−3)(x−5)
(4) (x−2)(3x+1)


[VI]  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
[VII]  (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
[VIII] (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3
ab の係数が−1のときのこの公式が使える.
ab の係数が−2のときは使えない.
[IX]  (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
ab の係数が1のときのこの公式が使える.
ab の係数が2のときは使えない.
※こじつけの覚え方:「1年生は2年生と仲が悪い,1年生と3年生は仲がよい」
[VI]の例
(x+1)3=x3+3·x2·1+3·x·12+13=x3+3x2+3x+1
(2x+3)3=(2x)3+3·(2x)2·3+3·(2x)·32+33
_______=8x3+36x2+54x+27
係数を2乗,3乗したものも係数に入ってくる.
[VII]の例
(2x1)3=(2x)33·(2x)2·1+3·(2x)·1213
_______=8x3−12x2+6x−1
[VIII][IX]の例
※そもそも,この公式は (a+b)3 とは「#全く関係ない#」ことに注意すること.
(x+1)(x2−x+1)=x3+1
見たらすぐ答え.特別な計算はいらない.
これを,x3+3x2+3x+1 などと変形してはいけない.
(2x−1)(4x2+2x+1)=8x3−1
見たらすぐ答え.特別な計算はいらない.
これを,8x3−12x2+6x−1 などと変形してはいけない.
(x+1)(x2+x+1)=
公式に当てはまっていない.気長にばらばらにするだけ.
x3+2x2+2x+1 になる.
(x−2)(x2+4x+4)=
公式に当てはまっていない.気長にばらばらにするだけ.
x3+2x2−4x−8 になる.
問題3 次の式を展開せよ.
(下の選択肢から正しいものを選べ.)
(1) (x+2)3
(2) (3x−2)3
(3) (x+2)(x2−2x+4)
(4) (x+1)(x2−2x+1)

■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式1について/17.5.29]
とてもわかりやすく、4択で問題数も少ないので気軽にとりくむことができました。ありがとうございました。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式1について/17.4.16]
問題3の(3)、(x+2)(x2−2x+4)ついてなのですが、xの係数は2ではないですか? 公式はどうして使えるのでしょうか
=>[作者]:連絡ありがとう.よく似た質問が時々あります.次の点に注意して下さい.
公式[ (a+b)(a2ab+b2)=a3+b3 において,「abの係数が2のときはこの公式は使えない」
すなわち,(a+b)(a22ab+b2)a3+b3にはならないと書いてあります.
しかし,問題3の(3)は,この公式でa=x, b=2としたものなので,
(x+2)(x22x+22)=x3+23 となっているのです.
一言でいえば,係数2なのでなく,b2なのです.
だから公式[が使えるのです.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式1について/17.4.6]
1番最後の問題。なぜXの係数が-2だと公式が使えないのかわかない!!その他使えないときの例はありますか??
=>[作者]:連絡ありがとう.公式に合わなければ公式が使えないのは当然だと思いますが.
(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3:公式
→公式に合う(x+1)(x2−x+12)=x3+13
→公式に合わない(x+2)(x2−x+12):展開してみないと分からない
→公式に合わない(x+1)(x2+12):展開してみないと分からない
→公式に合わない(x+1)(x2−2x+12):展開してみないと分からない
→公式に合わない(x+1)(x2−3x+12):展開してみないと分からない
(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3:公式
→公式に合う(x−1)(x2+x+12)=x3−13
→公式に合わない(x−1)(x2+12):展開してみないと分からない
→公式に合わない(x−1)(x2+2x+12):展開してみないと分からない
→公式に合わない(x−1)(x2+3x+12):展開してみないと分からない
→公式に合わない(x−1)(x2+4x+12):展開してみないと分からない
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式1について/17.3.17]
公式を使える問題なのか使えない問題なのかがよく分かりません
=>[作者]:連絡ありがとう.係数も含めて同じ形になっているかどうかで判断します.その頁は公式が使える問題と使えない問題を見分ける練習にもなっていますので「分からない」というのは勉強不十分ということです.
あなたの目の動きをたどってみると,3乗の展開公式のところを何度も見ています.確かに公式[VI]〜[IX]があなたの弱い箇所なのでそこをもう一度よく読んでみるとよいでしょう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式1について/17.3.17]
[VIII][IX]の例の説明で,二段目の数式のが(見たらすぐ答え。特別な計算はいらない)理由がわからない。abの係数は2なので気長にばらばらにする必要があるのではないか.
=>[作者]:連絡ありがとう.{(2x)−1}{(2x)2+(2x)+1}の係数は全部1になっています(ただし最初のかっこ内の定数は−1です).
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式について/17.3.11]
とてもわかりやすかったです
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式1について/17.3.8]
最後はずるいw
=>[作者]:連絡ありがとう.この間違いは結構多いので,注意を促すためにあえて出題しています.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式について/17.1.16]
全て素晴らしい
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式について/16.12.27]
41のおっさんです。小さい頃から母親から罵られまくって高校に入って全く自暴自棄になって、勉強しなかったのですが、今落ち着いて見直すととても面白いです。欲を言えば、誘惑になる広告が非表示だといいですね。これからも使わせてもらいます。素晴らしいサイトをつくってくれてありがとう。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式1について/16.12.21]
問題3の(4)、公式から外れたものを出題しているのがとても良いと思いました
=>[作者]:連絡ありがとう.何でも公式にあてはまると考えられると,とんでもない答案ができてしまうので,注意を促すために入れました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式について/16.12.17]
合っていたら記号を『×→○』にしてほしい。
=>[作者]:連絡ありがとう.SafariかChromeで全角数字で入力していませんか?今の生徒は小学校以来コンピュータを使う授業を経験しているので,漢字の一種の全角文字(2バイト文字)と半角英数字(1バイト文字)の違いは分かっているはずです.数値計算は半角数字で行います.…(A)
 とはいっても,現代生活は忙しいので,半角文字を入れるべき時に間違って全角文字を入力している場合に,コンピュータが勝手に訂正して半角文字に書き換えてしまうこともあります(Excelなど).…(B)
 その頁では(A)の方式で採点しています…全角数字で答えると不正解になります.(ime-modeを無効にする設定を行っているので,ブラウザによっては全角入力を防げますが,あなたのブラウザでは全角入力ができてしまうようです)
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式について/16.11.16]
全体的に、フォントの色が淡かったり、線が細かったりして少々読みづらい
=>[作者]:連絡ありがとう.文字色は少し濃くしました.Chromeで線が細く見えるとはどういうことなのか分かりません.

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【答案の傾向】(2012.5--2012.8)
問題1
(1)
答案のうちで85%は正解ですが,
x2+5x+25 を選ぶ間違いが5%あり,公式a2+2ab+b2 において係数2 が忘れられやすいようです.
(2)
答案のうちで80%は正解ですが,
9x2−15x+25 を選ぶ間違いが6%あり,公式a22ab+b2 において係数−2 が忘れられやすいようです.
また,9x2−30x−25 を選ぶ間違いが5%あり,
(a−b)2=a2−2ab+b2 において最後の+b2の符号が正しく覚えられていないようです.
(3)
この問題では87%の答案が正解となっており,間違いやすい選択肢はありませんでした.
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問題2
(1)
答案のうちで86%は正解ですが,
x2+5x+6 を選ぶ間違いが6%あり,「和になる部分」と「積になる部分」の取り違いがあります.
(2)
答案のうちで82%は正解ですが,
x2−2x−35 を選ぶ間違いが7%あり,7−5のうちで強い方(7)の符号に一致する(7+(−5)=2)ということが十分理解できていないようです.
(3)
この問題では87%の答案が正解となっており,間違いやすい選択肢はありませんでした.
(4)
答案のうちで80%は正解ですが,
3x2+5x−2 を選ぶ間違いが5%あり,展開したときの符号があいまいになっています.
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問題3
(1)
答案のうちで76%は正解ですが,3乗の展開になると計算量も多くなるので処理時間,間違いも多くなっています.
特に(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3において,a, bを何乗かしたものも係数に合流してくるところが弱いようです.
(2)
正答率は68%まで下がっており,「符号は正か負か」「係数3, 2を何乗かしたものも掛けなければならない」ということを忘れるようです.
(3)
答案のうちで74%は正解ですが,「1年生と3年生は仲がよい」という関係がうまく覚えられずに符号が逆になってしまう間違いが10%ありました.
(4)
この問題は悲惨でした.正答と誤答が同じくらいになりました.
左の解説にあるように「公式一発ではできない問題」は気長に展開するしかありません.「公式一発」で行けるかどうかを見分ける力を付けるには,何題か解いて練習する必要があります.