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■問題１ 次の式を展開せよ． |
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■問題２ 次の式を展開せよ． |
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■問題３ 次の式を展開せよ． ※ ↓送信されるのは各問題の第1問です． ほとんどの回答者が第3問に無回答で、正答率60%〜70%となる者が多い？？ |
| 基本的な乗法公式（展開公式）
[I] (a+b)2=a2+2ab+b2
※ これらの公式のうち[I]〜[IV]は中学校の復習となっているが，高校の数学 I でもう一度出てくる．公式は中学校と同じでも，扱い方が少し変るところがある．例えば，これらの公式を使った置き換えによる展開，因数分解などは普通に出てくる．[II] (a - b)2=a2 - 2ab+b2 [III] (a+b)(a - b)=a2 - b2 （証明） [I]←  「総当たり」になるように掛けていき，同類項 ab , ba をまとめて，2ab にする． ■続く→■ |
■→続き■ [II]←[I] 「総当たりに」掛けていってもできるが，次のように[I]の公式を使って[II]を示すこともできる． (a - b)2=(a+(-b))2=a2+2a·(-b)+(-b)2=a2 - 2ab+b2 [III]←  ※ ab の項が，符号が逆のものと消し合うところがポイント ※ 【この公式は重要】 an と bn だけでできている式はめったにないので，無理数の分母の有理化などにおいてこの式が重要になる．
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[IV] (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
[V] (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd |
[IV]← 証明は展開すれば分かるので省略．ここでは次の点に注意したい． (x+a)(x+b)=x2+和(a+b)x+積ab 例えば (x+5)(x+3)=x2+8x+15 などとする． また，(x+5a)(x+3a)=x2+8ax+15a2 などとする． さらに，(x+a+3)(x+a+2)=x2+(2a+5)x+(a2+5a+6) などとする． [V]← この公式は「総当たりで全部掛ける」というのとあまり変らない． 丸暗記しても，逆計算の因数分解ができるわけではない．あまりうれしくない公式． |
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[VI] (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
[VII] (a - b)3=a3 - 3a2b+3ab2 - b3 [VIII] (a+b)(a2 - ab+b2)=a3+b3 [IX] (a - b)(a2+ab+b2)=a3 - b3  [VI]←(a+b)3=(a+b)(a+b)2 =(a+b)(a2+2ab+b2) =a3+2a2b+ab2 +a2b+2ab2+b3 =a3+3a2b+3ab2+b3 ※ この係数 1 , 3 , 3 , 1 は右のような「パスカルの数三角形」で求められる． [VII]←[VI] (a+( - b))3=a3+3a2(- b)+3a( - b)2+( - b)3 (- b) が奇数回掛けられているところは符号がマイナスになることに注意すると これは，a3 - 3a2b+3ab2 - b3 に等しい． ■続く→■ |
[VIII] [IX]← ※ 【この公式は重要】 an と bn だけでできている式はめったにない．
（「１次と２次は仲が悪い，１次と３次は仲がよい」「プラスとマイナスの積になっているときだけ雑種の項が消える．」など適当にこじつけて覚えておく．）  |