PC用は別頁

== 展開公式 ==

■解説
基本的な乗法公式(展開公式)
[I]  (a+b)2=a2+2ab+b2
[II]  (a - b)2=a2 - 2ab+b2
[III]  (a+b)(a - b)=a2 - b2
※ これらの公式のうち[I]〜[IV]は中学校の復習となっているが,高校の数学 I でもう一度出てくる.公式は中学校と同じでも,扱い方が少し変るところがある.例えば,これらの公式を使った置き換えによる展開,因数分解などは普通に出てくる.
(証明)
[I]← 
「総当たり」になるように掛けていき,同類項 ab , ba をまとめて,2ab にする.   
[II]←[I]
 「総当たりに」掛けていってもできるが,次のように[I]の公式を使って[II]を示すこともできる.
 (a - b)2=(a+(-b))2=a2+2a·(-b)+(-b)2=a2 - 2ab+b2
[III]
ab の項が,符号が逆のものと消し合うところがポイント
【この公式は重要】 anbn だけでできている式はめったにないので,無理数の分母の有理化などにおいてこの式が重要になる.
雑種を含む

純系のみ
a2+ab+b2
a2+2ab+b2
a2- ab+b2
a2- 2ab
+b2

(+)2
=5+2+3 =8+2
比較
a2 - b2




(+)( - )
=5 - 3 =2

[IV]  (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
[V]  (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
[IV]
証明は展開すれば分かるので省略.ここでは次の点に注意したい.

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
例えば (x+5)(x+3)=x2+8x+15 などとする.
また,(x+5a)(x+3a)=x2+8ax+15a2 などとする.
さらに,(x+a+3)(x+a+2)=x2+(2a+5)x+(a2+5a+6) などとする.
[V]
 この公式は「総当たりで全部掛ける」というのとあまり変らない.
 丸暗記しても,逆計算の因数分解ができるわけではない.あまりうれしくない公式.

[VI]  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
[VII]  (a - b)3=a3 - 3a2b+3ab2 - b3
[VIII] (a+b)(a2 - ab+b2)=a3+b3
[IX]  (a - b)(a2+ab+b2)=a3 - b3
[VI]
(a+b)3=(a+b)(a+b)2
=(a+b)(a2+2ab+b2)
=a3+2a2b+ab2
____+a2b+2ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3

※ この係数 1 , 3 , 3 , 1 は右のような「パスカルの数三角形」で求められる.
[VII]←[VI]
(a+( - b))3=a3+3a2(- b)+3a( - b)2+( - b)3
(- b) が奇数回掛けられているところは符号がマイナスになることに注意すると
これは,a3 - 3a2b+3ab2 - b3 に等しい. 
[VIII] [IX]
【この公式は重要】 anbn だけでできている式はめったにない.
雑種を含む

純系のみ
a3+a2b+ab2+b3
a3+2a2b+2ab2+b3
a3+3a2b+3ab2+b3
a3 - a2b - ab2+b3
a3 - 2a2b - 2ab2+b3
a3 - 3a2b - 3ab2+b3

比較
a3+b3

a3 - b3



※ a+ba3+b3 の符号が同じ,a - ba3 - b3 の符号が同じ.
(「1次と2次は仲が悪い,1次と3次は仲がよい」「プラスとマイナスの積になっているときだけ雑種の項が消える.」など適当にこじつけて覚えておく.)


■問題1
 次の式を展開せよ.
[ 0問 / 全8問中] [採点する] [やり直す] [次の問題]


■問題2
 次の式を展開せよ.

■問題3
 次の式を展開せよ.
※ ↓送信されるのは各問題の第1問です.(なぜかIEのみ(2)以後の解答が表示されません.Safari,Chrome,FirefoxはOK)
ほとんどの回答者が第3問に無回答で、正答率60%〜70%となる者が多い??

...(携帯版)メニューに戻る

...(PC版)メニューに戻る


■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式について/17.6.8]
分数の場合のやり方ものせて欲しいです。
=>[作者]:連絡ありがとう.当サイトは中学生から高齢者まで読者層が広いので,分数の場合という言葉が何を表しているのか絞り切れません.例えば,係数が分数になっている場合という意味でしたら,問題1の第4問,問題3の第3問にありますが,展開するだけですから取り扱いとしては同じです.中学生向けのように,分数の係数になると間違いやすいから,特別な頁を作って専用の解説を・・・ということは,高校の教材としては考えにくいです.また,例えば分数式の場合という意味でしたら,分数式の頁が別にありますのでそちらを見てください.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式について/17.6.5]
やりやすかったです。参考にさせてもらいます。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式(解説)について/17.4.5]
苦手撲滅完了!?(笑)
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式について/17.3.7]
左に表示される「大きな区分」や「現在地と前後の項目」が見切れていて左三分の一ほどが表示されていない。
=>[作者]:連絡ありがとう.画面の横方向1366ピクセルのFirefoxで見ておられるので,普通なら十分画面に入っているはずです.文字サイズやズーム画面の拡大率を標準(100%にリセット)にして試してください.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式 について/17.1.24]
とってもわかりやすい。 本当に素晴らしい。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式について/16.10.22]
展開公式2 問題3の第3問で【採点する】をクリックできません。
=>[作者]:連絡ありがとう.IEまたはEdgeをお使いのようですが,いずれでも問題なく採点できます.