■展開公式1(例題→選択問題)携帯版
基本的な乗法公式(展開公式)
[I]  (a+b)2=a2+2ab+b2
[II]  (a−b)2=a22ab+b2
[III]  (a+b)(a−b)=a2−b2
[I]の例
(x+3)2=x2+2·x·3+32=x2+6x+9
(4x+1)2=(4x)2+2·(4x)·1+12=16x2+8x+1
x だけでなく,係数も2乗することを忘れないこと.
[II]の例
(x5)2=x22·x·5+52=x2−10x+25
(2x3y)2=(2x)22·(2x)·(3y)+(3y)2=4x2−12xy+9y2
x , y だけでなく,係数も2乗することを忘れないこと.
[III]の例
(x+6)(x6)=x262=x2−36
(2x+3y)(2x3y)=(2x)2(3y)2=4x2−9y2
x , y だけでなく,係数も2乗することを忘れないこと.
問題1 次の式を展開せよ.
(下の選択肢から正しいものを選べ)
(1) (x+5)2
(2) (3x−5)2
(3) (3x+5)(3x−5)
.
[IV]  (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
[V]  (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
[IV]の例
(x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+2·3=x2+5x+6
和が x の係数で,積が定数項になる.(逆にする間違いが多い)
(x+4)(x7)=x2+{4+(−7)}x+{4·(−7)}=x2−3x−28
(x+4y)(x7y)
=x2+{4y+(−7y)}x+{4y·(−7y)}
=x2−3xy−28y2
前の式に y を付けただけと考えると後で困る.係数が 4y , −7y だと考えること.

[V]はバラバラにして集める「やりかた」が身に付いておればよく,結果を「覚える」必要はない.
(2x1)(x+3)=2x2+6x−x−3=2x2+5x−3
問題2 次の式を展開せよ.
(下の選択肢から正しいものを選べ)
(1) (x+5)(x+1)
(2) (x+7)(x−5)
(3) (x−3)(x−5)

(4) (x−2)(3x+1)
.
[VI]  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
[VII]  (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
[VIII] (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3
ab の係数が−1のときのこの公式が使える.
ab の係数が−2のときは使えない.
[IX]  (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
ab の係数が1のときのこの公式が使える.
ab の係数が2のときは使えない.
※こじつけの覚え方:「1年生は2年生と仲が悪い,1年生と3年生は仲がよい」
[VI]の例
(x+1)3=x3+3·x2·1+3·x·12+13=x3+3x2+3x+1
(2x+3)3=(2x)3+3·(2x)2·3+3·(2x)·32+33
_______=8x3+36x2+54x+27
係数を2乗,3乗したものも係数に入ってくる.
[VII]の例
(2x1)3=(2x)33·(2x)2·1+3·(2x)·1213
_______=8x3−12x2+6x−1
[VIII][IX]の例
※そもそも,この公式は (a+b)3 とは「#全く関係ない#」ことに注意すること.
(x+1)(x2−x+1)=x3+1
見たらすぐ答え.特別な計算はいらない.
これを,x3+3x2+3x+1 などと変形してはいけない.
(2x−1)(4x2+2x+1)=8x3−1
見たらすぐ答え.特別な計算はいらない.
これを,8x3−12x2+6x−1 などと変形してはいけない.
(x+1)(x2+x+1)=
公式に当てはまっていない.気長にばらばらにするだけ.
x3+2x2+2x+1 になる.
(x−2)(x2+4x+4)=
公式に当てはまっていない.気長にばらばらにするだけ.
x3+2x2−4x−8 になる.
.
問題3 次の式を展開せよ.
(下の選択肢から正しいものを選べ.)
(1) (x+2)3
(2) (3x−2)3

(3) (x+2)(x2−2x+4)

(4) (x+1)(x2−2x+1)



【答案の傾向】(2012.5--2012.8)
問題1
(1)
答案のうちで85%は正解ですが,
x2+5x+25 を選ぶ間違いが5%あり,公式a2+2ab+b2 において係数2 が忘れられやすいようです.
(2)
答案のうちで80%は正解ですが,
9x2−15x+25 を選ぶ間違いが6%あり,公式a22ab+b2 において係数−2 が忘れられやすいようです.
また,9x2−30x−25 を選ぶ間違いが5%あり,
(a−b)2=a2−2ab+b2 において最後の+b2の符号が正しく覚えられていないようです.
(3)
この問題では87%の答案が正解となっており,間違いやすい選択肢はありませんでした.
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問題2
(1)
答案のうちで86%は正解ですが,
x2+5x+6 を選ぶ間違いが6%あり,「和になる部分」と「積になる部分」の取り違いがあります.
(2)
答案のうちで82%は正解ですが,
x2−2x−35 を選ぶ間違いが7%あり,7−5のうちで強い方(7)の符号に一致する(7+(−5)=2)ということが十分理解できていないようです.
(3)
この問題では87%の答案が正解となっており,間違いやすい選択肢はありませんでした.
(4)
答案のうちで80%は正解ですが,
3x2+5x−2 を選ぶ間違いが5%あり,展開したときの符号があいまいになっています.
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問題3
(1)
答案のうちで76%は正解ですが,3乗の展開になると計算量も多くなるので処理時間,間違いも多くなっています.
特に(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3において,a, bを何乗かしたものも係数に合流してくるところが弱いようです.
(2)
正答率は68%まで下がっており,「符号は正か負か」「係数3, 2を何乗かしたものも掛けなければならない」ということを忘れるようです.
(3)
答案のうちで74%は正解ですが,「1年生と3年生は仲がよい」という関係がうまく覚えられずに符号が逆になってしまう間違いが10%ありました.
(4)
この問題は悲惨でした.正答と誤答が同じくらいになりました.
左の解説にあるように「公式一発ではできない問題」は気長に展開するしかありません.「公式一発」で行けるかどうかを見分ける力を付けるには,何題か解いて練習する必要があります.