■定数係数の2階線形微分方程式(非同次) → 携帯版
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■非同次方程式とは
○ 次の式
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
を「2階線形同次微分方程式」というのに対して,
y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)
を「2階線形非同次微分方程式」といいます.

○ 定数係数の2階線形微分方程式については,同次方程式は次の(1)の形,非同次方程式は(2)の形になります.(a, bは定数の係数)
y''+ay'+by=0…(1)
y''+ay'+by=R(x)…(2)
y'', y', y以外に関数R(x)が付いているのが「非同次形」

○ 微分方程式を満たす1つの解を特殊解(特別解)という.…これはたまたま見つかった1つの解でよい.
非同次方程式(2)の一般解について,次の定理が成り立ちます.
【定理】
 非同次方程式
y''+ay'+by=R(x)…(2)
の特殊解に,
 同次方程式
y''+ay'+by=0…(1)
の一般解を加えると,非同次方程式(2)の一般解が得られます.
(解説)
(2)式の特殊解をy0,(1)の一般解をy1とおくと,
y0''+ay0'+by0=R(x)
y1''+ay1'+by1=0
したがって,y=y0+y1とおくと,
y''+ay'+by
=(y0+y1)''+a(y0+y1)'+b(y0+y1)
=(y0''+ay0'+by0)+(y1''+ay1'+by1)
=R(x)
が成り立ち,(1)の一般解y1は任意定数を2つ含んでいるから,このyは(2)の一般解になります.

※ (1)の一般解が右の(まとめ)のように求まるので,非同次方程式(2)の特殊解を(偶然でもよいからとにかく1つ)見つけると,それらの和により非同次方程式(2)の一般解が得られることになります.

【例1】
y''−3y'+2y=1の一般解を求めるには
まず,同次方程式y''−3y'+2y=0の一般解を求めると
r2−3r+2=0の解はr=1, 2だから
右のまとめ1.により
y=C1ex+C2e2x
次に,非同次方程式y''−3y'+2y=1の特殊解を求めると(どのように求めるかは後述)
y=
これらの和を作ると,元の方程式の一般解は
y=+C1ex+C2e2x
.
(前頁のまとめ)
【定数係数の2階線形同次形微分方程式の一般解】
 a, bを定数とするとき,微分方程式
y”+ay’+by=0…(1)
の一般解は,2次方程式
r2+ar+b=0 …(*)
の解によって表すことができ,

1. (*)が異なる2つの実数解p, qをもつとき
y=C1epx+C2eqx
2. (*)が異なる2つの虚数解h±kiをもつとき
y=ehx(C1coskx+C2sinkx)
3. (*)が重解pをもつとき
y=epx(C1+C2x)
となる.
【例2】
y''−4y'+4y=xの一般解を求めるには
まず,同次方程式y''−4y'+4y=0の一般解を求めると
r2−4r+4=0の解はr=2(重解)だから
上のまとめ3.により
y=e2x(C1+C2x)
次に,非同次方程式y''−4y'+4y=xの特殊解を求める(どのように求めるかは後述)
y=x+
これらの和を作ると,元の方程式の一般解は
y=x++e2x(C1+C2x)

■非同次方程式の特殊解の求め方
 上記のように,2階線形非同次微分方程式の一般解を求めるためには,1つの特殊解を求めればよい.
 この特殊解(1つの解)を「一発で求めよう」とすると,少し複雑なことを覚えなければならない.ここでは,もう少し気楽に考えて,
1回か2回なら失敗してもよい
と考える(試行錯誤を受け入れる)ことにより,
覚えることを減らす作戦とします.
【要点】
(1)
 ある関数y,その導関数y'及び第2次導関数y''の定数倍を加えたものは,元の関数yの形を反映している.
 したがって,y''+ay'+byR(x)に等しくなるのは,関数y自身がR(x)の形と深い関係があるときです.
yが多項式 ⇒ y', y''も多項式
y''+ay'+byは多項式
y=ekxy'=..ekx, y''=..ekx
y''+ay'+by=...ekx
y=sin kxy'=..cos kx, y''=..sin kx
y''+ay'+by=...sin kx+...cos kx

(2) …ここが試行錯誤ありの求め方…運が悪くても,2回の失敗で解答にたどり着けます
1) 多項式,指数関数,三角関数,...
で試してみて未定係数が定まればそれを解答とする.

2) 上記の係数a, b及びkの組合せにより未定係数が定まらないときは,
x×多項式,x×指数関数,x×三角関数,...
を試してみます.

3) それでもダメなときは,
x2×多項式,x2×指数関数,x2×三角関数,...
を試してみます.

※ 限りなく続くわけではなく,3)までで解けます.

【例−右辺が多項式のもの1】 
y''+y'+2y=3の1つの特殊解を求めてください.
(解答)
右辺R(x)=3の形に合わせて
y=A
の形で試してみる(未定係数Aを求めることが,ここでの目標)
y'=0
y''=0
となるから
y''+y'+2y=0+0+2A=2A
(検算)
y=のとき
y'=y''=0だから
y''+y'+2y=0+0+2×=3
が成り立ちます.
これが3に等しくなるには
2A=3
A=
ゆえに
y= …(答)
【例−右辺が多項式のもの2】 
y''+3y'=2の1つの特殊解を求めてください.
y''+ay'+by=c (≠0)a, b, cは与えられた係数)において,b=0のときは,y=AAは未定係数)とおいたとしても,y'=y''=0により
左辺y''+ay'+by=0+0+bA=bAc (≠0)に等しくなることはできません.
A=とはできない)
この場合は,y=Axを試します.
(解答)
(試してみてダメな部分)
右辺R(x)=2の形に合わせて
y=A
の形で試してみると,
y'=0
y''=0
となるから
y''+3y'=0+0となって,どんな定数Aを持ってきてもc (≠0)に等しくなることはできません.

y=Axとおくと
y'=A
y''=0
となるから
y''+3y'=0+3A=3A
これが,右辺の2に等しくなるには
3A=2
A=
ゆえに
y=x …(答)
(検算)
y=xのとき
y'= , y''=0だから
y''+3y'=0+3×=2
が成り立ちます.
右に続く→
.
【例−右辺が多項式のもの3】
y''+4y'−5y=6x
の1つの特殊解を求めてください.
○ 右辺が1次式のときは,一般の1次式y=Ax+Bを試します.
○ 右辺が2次式のときは,一般の2次式y=Ax2+Bx+Cを試します.
○ 3次以上のときも同様です.
(解答)
y=Ax+Bとおくと
y'=A
y''=0
となるから
y''+4y'−5y
=0+4A−5(Ax+B)
=(−5A)x+(4A−5B)
これが,右辺の6xに等しくなるには
−5A=6 …(1)
4A−5B=0 …(2)
A= −
B= −
ゆえに
y= − x− …(答)
【例−右辺が多項式のもの4】
y''−3y'+y=2x2
の1つの特殊解を求めてください.
(解答)
y=Ax2+Bx+Cとおくと
y'=2Ax+B
y''=2A
となるから
y''−3y'+y
=2A−3(2Ax+B)+(Ax2+Bx+C)
=Ax2+(−6A+B)x+(2A−3B+C)
これが,右辺の2x2に等しくなるには
A=2 …(1)
−6A+B=0 …(2)
2A−3B+C=0 …(3)
A=2, B=12, C=32
ゆえに
y=2x2+12x+32 …(答)
【例−右辺が多項式のもの5】
y''−2y'=3x−4
の1つの特殊解を求めてください.
y=Ax+Bとおくと,係数A, Bが定まりませんので,
y=x(Ax+B)で試します.
(解答)
y=x(Ax+B)=Ax2+Bxとおくと
y'=2Ax+B
y''=2A
となるから
y''−2y'
=2A−2(2Ax+B)
=(−4A)x+(2A−2B)
これが,右辺の3x−4に等しくなるには
−4A=3 …(1)
2A−2B=−4 …(2)
A=−, B=
ゆえに
y=x(−x+) …(答)
○ y=ekxを微分するとy'y''ekxが登場しますので,R(x)=..ekxのときは,y=Aekxを試してみます
【例−右辺が指数関数のもの1】
y''+2y'−3y=e2x
の1つの特殊解を求めてください.
(解答)
y=Ae2xとおくと
y'=2Ae2x
y''=4Ae2x
となるから
y''+2y'−3y
=4Ae2x+4Ae2x−3Ae2x=5Ae2x

これが,右辺のe2xに等しくなるには
5A=1
A=
ゆえに
y=e2x …(答)
【例−右辺が指数関数のもの2】
y''−4y'−5y=e5x
の1つの特殊解を求めてください.
(解答)
y''+ay'+by=c edxa,b,c≠0,d≠0は与えられた定数)
において,y=Aedxとおくと
y'=dAedx
y''=d2Aedx
となるから
y''+ay'+by=A(d2+ad+b)edx
となり,これが方程式の右辺のc edxと等しくなるためには
A(d2+ad+b)=c (≠0)
でなければなりませんが,
d2+ad+b=0 (←dが特性方程式の解であるとき)
のときは,係数Aが定まらないので,y=Axedxを試します
y=Axe5xとおくと
y'=A(e5x+5xe5x)=Ae5x(1+5x)
y''=A(5e5x(1+5x)+e5x(5))=Ae5x(10+25x)
となるから
y''−4y'−5y
=4Ae5x(10+25x−4−20x−5x)=6Ae5x

これが,右辺のe5xに等しくなるには
6A=1
A=
ゆえに
y=x e5x …(答)
○ sin kxcos kxを微分するとcos kxsin kxが交互に登場しますので,R(x)=sin kxだからといって,y=A sin kxだけで解決するとは限らず,R(x)=cos kxだからといって,y=A cos kxだけで解決するとは限りません.特に,b≠0のとき,逆の側が登場します.
 ⇒ 三角関数が登場する場合には,y=Asin kx+Bcos kxを想定して係数を合わせます.
【例−右辺が三角関数のもの1】
y''−3y'+2y=20sin 2x
の1つの特殊解を求めてください.
(解答)
y=Asin 2x+Bcos 2xとおくと
y'=2Acos 2x−2Bsin 2x
y''=−4Asin 2x−4Bcos 2x
となるから
y''−3y'+2y
=(−4Asin 2x−4Bcos 2x)−3(2Acos 2x−2Bsin 2x)
+2(Asin 2x+Bcos 2x)
=(−2A+6B)sin 2x+(−6A−2B)cos 2x

(*) 一般に,p,q,r,sが未定係数であるとき,次のように係数比較できます.
p sin nx+q cos nx=0が恒等式(1つのxに対してでなく,すべてのxに対して成り立つとき)
p=q=0
p sin nx+q cos nx=r sin nx+s cos nxが恒等式
p=r, q=s
これが,右辺の20sin 2xに等しくなるには
−2A+6B=20 …(1)
−6A−2B=0 …(2)
A=−1, B=3
ゆえに
y=−sin 2x+3cos 2x …(答)
上記の(*)の証明
三角関数の合成公式により
p sin nx+q cos nx=sin(nx+α)
と書けるから,これがつねに0となるのはp=q=0の場合に限る.
(別の証明)
p sin nx+q cos nx=0がすべてのxに対して成り立つならば,当然x=0, x=のときも成り立つはずだから
x=0を代入するとq=0
x=を代入するとp=0(以上は必要条件)
逆に,p=q=0のときp sin nx+q cos nx=0が成り立つのは明らか.(十分条件も満たす)
(2番目の式)
p sin nx+q cos nx=r sin nx+s cos nx
(p−r) sin nx+(q−s) cos nx=0だから,
上の結果により
p sin nx+q cos nx=r sin nx+s cos nx
p=r, q=s
【問題1】
 次の微分方程式の特殊解を求めてください.
y''+2y'+3y=4
y=1 y=2 y= y= y=

【問題2】
 次の微分方程式の特殊解を求めてください.
y''−2y'=1
y=1 y=− y= y=− y=

.
【問題3】
 次の微分方程式の特殊解を求めてください.
y''−2y'+y=e3x
y=e3x y=e3x
y=e3x y=x e3x y=e3x

【問題4】
 次の微分方程式の特殊解を求めてください.
y''−4y'+4y=e2x
y=e2x y=xe2x y=x2e2x
y=e2x y=xe2x

【問題5】
 次の微分方程式の特殊解を求めてください.
y''+y=sin 2x
y=sin 2x y=sin 2x y=sin 2x
y=−sin 2x y=−sin 2x

【問題6】
 次の微分方程式の特殊解を求めてください.
y''−2y'+3y=cos x
y=cos x y=sin x y=sin x+cos x
y=−sin x+cos x y=−sin x−cos x

○ 非同次方程式において,右辺が幾つかの関数の和差及びそれらの定数倍になっているとき,元の非同次方程式の特殊解は,個別に求めた特別解の和差及びそれらの定数倍により求められます.
【重ね合わせの原理】
 非同次方程式
y''+ay'+by=R1(x)…(1)
の解をy1とし,
 非同次方程式
y''+ay'+by=R2(x)…(2)
の解をy2とするとき,
y=C1y1+C2y2
は,非同次方程式
y''+ay'+by=C1R1(x)+C2R2(x)…(3)
の解となる.
例えば,
y''+ay'+by=4e3x+5cos 2x
の特殊解を求めたいとき
y''+ay'+by=e3x
の特殊解y1
y''+ay'+by=sin 2x
の特殊解y2をそれぞれ求めておくと,
元の方程式の解は
y=4y1+5y2で得られます.
※ これにより,別々に求めて定数倍の和差を作ればよい.
(証明)
y1''+ay1'+by1=R1(x)
y2''+ay2'+by2=R2(x)
のとき
y=C1y1+C2y2
とおくと
y''+ay'+by=(C1y1''+C2y2'')
+a(C1y1'+C2y2')
+b(C1y1+C2y2)
=C1(y1''+ay1'+by1)+C2(y2''+ay2'+by2)
=C1R1(x)+C2R2(x)
が成り立ちます.
【例】
y''−4y'+8y=3x+5e2x
の1つの特殊解を求めてください.
(解答)
(1) y''−4y'+8y=xの特殊解y1を求める.
y1=Ax+Bとおくと
y1'=A
y''=0
となるから
y1''−4y1'+8y1=−4A+8(Ax+B)=(8A)x+(−4A+8B)
これが,xに等しくなるには
8A=1
−4A+8B=0
A=, B=
したがって,
y1=x+
(2) y''−4y'+8y=e2xの特殊解y2を求める.
y2=Ae2xとおくと
y2'=2Ae2x
y''=4Ae2x
となるから
y2''−4y2'+8y2=4Ae2x
これが,e2xに等しくなるには
4A=1
A=
したがって,
y2=e2x
(1)(2)より
3y1+5y2=x++e2x…(答)
【問題7】
 次の微分方程式の特殊解を求めてください.
y''−3y'+2y=4x−excos x
y=x+ex(sin x+cos x)
y=x−+ex(sin x−cos x)
y=2x+3+ex(sin x+cos x)
y=2x−3+ex(sin x−cos x)

【問題8】
 次の微分方程式の特殊解を求めてください.
y''+3y'−2y=x+4ex−5sin x
y=x++2ex+(sin x+cos x)
y=−x−+2ex+(sin x+cos x)
y=x+−2ex+(sin x−cos x)
y=−x−−2ex+(sin x−cos x)

○ この頁の先頭部分で述べましたように,非同次方程式の特殊解と同次方程式の一般解がわかれば,非同次方程式の一般解が求められます.
○ 一般解が求まれば,与えられた初期条件を満たす特殊解も求められることになります.
【問題9】
 次の微分方程式の一般解を求めてください.
y''−y'−2y=2+3ex
y=2+3e−x+C1ex+C2e−2x
y=−1−ex+C1e−x+C2e2x
y=−1−e−x+C1ex+C2e−2x
y=2+3e−x+C1e−x+C2e2x

【問題10】
 次の微分方程式の解で,初期条件y(0)=y'(0)=0を満たすものを求めてください.
y''−y=sin x+x
y=−sin x−x−e−x+ex
y=−sin x+x−e−x+ex
y=sin x−x−e−x+ex
y=sin x+x−e−x+ex


■[個別の頁からの質問に対する回答][定数係数の2階線形微分方程式(非同次)について/17.5.8]
定数係数の2階非同次微分方程式について、y"+y=tanx のときは特殊解の候補をどのように置けばいいのでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.右辺がtan xの場合は,この頁で想定している初歩的な解き方の範囲外です.すなわち,特殊解を求める簡単な方法がありませんので,そのアプローチでは無理でしょう.
解くためには,一般解を求めてから「定数変化法」を試みることになるでしょう.
同次方程式の一般解はなので,定数変化法により,非同次方程式の解をとおいて微分方程式に代入して,関数の満たすべき微分方程式に直してこれを解きます.ただし,そのままでは余りに無限定で解けませんので
…(1)
という条件を勝手に追加します.このようにすると,(1)がうまく働いて,の関数と第2次導関数を含まないだけの連立方程式になります.
…(2)
(1)(2)より
…(3)
…(4)
などとなって,理屈の上では解けますが,(3)(4)の計算も結構大変です.
■[個別の頁からの質問に対する回答][定数係数2階線形非同次微分方程式について/16.12.23]
2階線形非同次微分方程式のページの問題5の解答が間違っていると思われますので,確認をお願いします.
=>[作者]:連絡ありがとう.あなたが考える解答をお知らせください.
■[個別の頁からの質問に対する回答][定数係数の2階線形微分方程式(非同次)について/16.10.27]
分かりやすくて助かりました。 ありがとうございました。
=>[作者]:連絡ありがとう.