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== 2次不等式 == (文字係数)

〇文字係数の2次不等式を解くときは,できるだけ「因数分解」を試みて,文字の値の大小によって場合分けして答えます.
【例1】
2次不等式を解いてください.
左辺を因数分解すると
(x−2)(x−a)
になるから,簡単に言えば
2aの間
が答えになりますが,ここでaが文字であることにより,a2のどちらが大きいかに応じて答え方が変わってきます.
右上に続く↑
(解答)
ア) a<2のとき
2次関数y=(x−2)(x−a)のグラフは右図のようになるから
2次不等式の解は
a<x<2
イ) a=2のとき
2次関数y=(x−2)2のグラフは右図のようになるから
2次不等式は「解なし」

ウ) 2<aのとき
2次関数y=(x−2)(x−a)のグラフは右図のようになるから
2次不等式の解は
2<x<a

【問題1】
(1)
2次不等式x2−ax≧0を解いてください.
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(2)
2次不等式x2−(a+3)x+(a+2)≦0を解いてください.
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【例2】
2次不等式を解いてください.
左辺を因数分解すると
(x−a)(x−a−1)
になります.
さらにa<a+1がいえるので
aa+1の間
(解答)
(x−a)(x−a−1)>0と書ける.
2次方程式
(x−a)(x−a−1)=0
の解は
x=a, a+1 (a<a+1
だから
2次不等式の解は
x<a, a+1<x…(答)

【問題2】
(1)
2次不等式x2−3ax+2a2<0を解いてください.
解答を見る
(2)
2次不等式x2+(2a−1)x+a(a−1)>0を解いてください.
解答を見る

【例3】
2次不等式を解いてください.
(解答)
(x−2a)(x−a−1)<0と書ける.
2次方程式
(x−2a)(x−a−1)=0
の解は
x=2a, a+1
ここで
ア)2a<a+1 ←→ a<1
イ)2a=a+1 ←→ a=1
ウ)2a>a+1 ←→ a>1
ア)a<1のとき,2a<a+1だから
2a<x<a+1
イ)a=1のとき,2a=a+1だから
解なし
ウ)a>1のとき,a+1<2aだから
a+1<x<2a
【問題3】
(1)
2次不等式x2+x−a(a+1)<0を解いてください.
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(2)
不等式ax2−(a2+1)x+a<0を解いてください.
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(3)
不等式(a−1)x2+(3−a)x−2<0を解いてください.
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【例4】
2次不等式の解がすべての実数となるように,定数aの値の範囲を定めてください.

(考え方)
2次関数x2−(a+1)x+(7−a)のグラフが,右図のように
(1) 下に凸のグラフでなければならない
x2の係数が正(1)だからこれは成り立っている.
※なぜ「下に凸」でなければならないか?
もし,上に凸だったら,次のグラフのように両サイドで必ず負となってしまいつねに正になることはできないから,下に凸のグラフでなければならない
(2) x軸と共有点をもたないこと
→ 判別式D<0で調べるのが早いが,判別式はまだ習っていないという場合は,放物線の頂点のy座標が正であると言っても同じ.
※よくある話:y座標が「つねに正」となる条件は「判別式D>0」ではないのか?という間違いが多い
判別式Dの符号はx軸との共有点の「個数」に対応しているのに対して,ここで調べているのは頂点のy座標.
実は,

という平方完成の変形から言えば,頂点のy座標は

すなわち

だから,グラフが下に凸(a>0)のとき,頂点のy座標が正になるという条件は

になります.
右上に続く↑
(解答)
2次関数の頂点を求める計算で行くと
(かなり長い計算の結果)


となって,頂点のy座標が正になるという条件は

すなわち
a2+6a−27<0
となりますが,かなり冗長な答案になります.
2次方程式
x2−(a+1)x+(7−a)=0
の判別式の符号が負になればよい.
D=(a+1)2−4(7−a)
=a2+2a+1−28+4a
=a2+6a−27
=(a+9)(a−3)<0
より
−9<a<3…(答)
【問題4】
(1)
2次不等式x2−kx+k(k−1)≧0がすべての実数xについて成り立つように定数kの値の範囲を定めてください.
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(2)
不等式ax2−2(a+1)x+(a+3)>0がすべての実数xについて成り立つように定数aの値の範囲を定めてください.
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(3)
不等式(k−1)x2−kx+2k≧0がすべての実数xについて成り立つように定数kの値の範囲を定めてください.
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