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== ベクトル内積(成分) ==

≪要点≫
2つのベクトルが成分で表されているとき
=(x1 , y1 ) , =(x2 , y2 ) の内積は
·=x1x2+y1 y2

【例1】=(1 , 2 ) , =(3 , 4 ) の内積は
·=1 · 3+2 · 4=11

【例2】=(3 , 4 ) , =(−5 , 7 ) の内積は
·=3 · (−5)+4 · 7=13

【例3】=(2 , −1 ) , =(−3 , 0 ) の内積は
·=2 · (−3)+(−1) · 0=−6

※ベクトルは2次元ですが、ベクトルの内積は単なる数になります。
 3次元以上のベクトルでも同様にして、次のように成分x1, x2, …が与えられているとき、
x1 x2 x3 x4
2 -3 1 5
4 -2 6 0

2つのベクトルの内積は、2×4+(-3)×(-2)+1×6+5×0+…と定義されます。 ⇒ になります。
Excelのワークシート関数では = SumProduct(行1,行2) または= SumProduct(列1,列2)で内積が求められます。

※内積の計算に当たって「掛ける相手を間違わないこと」が重要。(x成分とx成分の積+y成分とy成分の積とします)
※ベクトルの内積は·のように「ドット」で表すものとし、
×のように書いてはいけません。(×は「外積」と呼ばれる別のものを表します。)
(参考)
矢印で表されるベクトルについての内積の定義

から,成分で表されるベクトル

の内積の定義

を導く方法
ベクトルの内積については,次の分配法則が成り立ちます.これ自体は証明する必要がありますが,ここではこの結果を使って示す.


x軸の正の向きで大きさ1の基本ベクトルとy軸の正の向きで大きさ1の基本ベクトルを用いて,ベクトルは各々次のように表されます.


そこで,上に示した分配法則により


ところで基本ベクトルの内積については,次の関係があります.



(同じものとの内積は1,異なるものとの内積は0になる)

したがって,


《問題》 各々正しいものを選択肢から選んでください.

(1)のとき,内積の値を求めてください.

(2)のとき,内積の値を求めてください.

(3)のとき,内積の値を求めてください.

(4)のとき,内積の値を求めてください.
−2 0 2 4 6 8

(5)のとき,内積の値を求めてください.
−3 0 3

(6)のとき,内積の値を求めてください.
0 2 4

(7)のとき,内積の値を求めてください.

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■[個別の頁からの質問に対する回答][ベクトル内積(成分)について/18.8.2]
丁寧な説明をありがとうございます。 (参考)で、「ところで基本ベクトル→eと→bの内積については」になっています。皆さん自然に読み直すと思いますが。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][ベクトル内積(成分)について/18.7.24]
a→とb→の内積は公式より|a||b| cosθではないんですか?a→とb→の内積を求めるとき上の式だとa→・b→=a→×b→のようになっているのですが正しいのですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.はそこに書いた通りです.それを質問してどうなる?「上の式だと」とはどの式のことですか?外積とは違うと書いてありますが,しっかり読みましたか?
■[個別の頁からの質問に対する回答][ベクトル内積(成分)について/17.8.8]
内積の定義を導く方法の最後の答えが間違ってます!
=>[作者]:連絡ありがとう.確かに!ただの計算間違いと違って,こんな大事な公式を写し間違ってどうする.筆者も気合を入れないと!
■[個別の頁からの質問に対する回答][ベクトル内積について/16.9.24]
エーベクトル➕ビーベクトル=エービーベクトル になるんですか???
=>[作者]:連絡ありがとう.質問の意味が通じません.
 この頁は,成分で表されたべクトルの内積の求め方を扱っています.もしベクトルの和差のことを聞いておられるのなら,先頭のサブメニューに従ってベクトルの和差の頁を見てください.
 のとき,ですかと尋ねておられるのなら,高校では大文字1文字は点を表すときに用いるので,左辺のような記号は使いません.
 のとき,ですかと尋ねておられるのなら,ベクトルの和と内積は別のものです.
 のとき,ですかと尋ねておられるのなら,そうではありません.
 のとき,になります.