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== 集合の要素を用いた証明 ==

【要点】
集合を表す方法には「外延的記法で表す方法」と「内包的記法で表す方法」がある.
外延的記法とは
のように要素を書き並べる方法のことをいう.
内包的記法とは
のように条件を満たす変数の集まりとして書く方法のことをいう.
条件を幾つも使って


のように書くことができるが,

のようにカンマで区切って並べた場合は,and (かつ)の省略とする.or (または)は省略できない.
が集合の要素であることは

で表し,が集合の要素でないことは

で表す.

【問題1】 Nは自然数全体の集合,Zは整数全体の集合とするとき,各々正しいものを下の選択肢から選んでください.(正しいものをクリック)
(1)
とするとき

→右上に続く
(2)
とするとき
であるがではない
であるがではない

(3)
とするとき
であるがではない
であるがではない


【要点】
ならば」が成り立つときと書く.

すなわち,集合の任意の要素が必ずの要素になるとき,と書く.

そこで,を証明するには,集合の任意の要素を使って,その要素が必ずの要素になることを示せばよい.
(※集合の包含関係を証明するために,要素を使う.)

かつのときと書く.

【例題1】


とするときとなることを証明してください.
(証明)
のとき
となる整数が存在する.
このとき
…(*1)
と書けるから



と書ける.すなわち
したがって,


逆に,のとき
となる整数が存在する.
このとき
…(*2)
と書けるから



と書ける.すなわち
したがって,

結局が示された.

必ずしも上記の変形(*1)でなくてもの形になっていればよい.
たとえば,でもよい.

同様にして(*2)でなくてもでもよい.


【問題2】 Nは自然数全体の集合,Zは整数全体の集合とするとき,各々正しいものを下の選択肢から選んでください.(正しいものをクリック)
(1)


とするとき
であるがではない
であるがではない

→右上に続く
(2)


とするとき
であるがではない
であるがではない

(3)


とするとき

(4)


とするとき


【問題3】 Nは自然数全体の集合,Zは整数全体の集合とするとき,各々正しいものを下の選択肢から選んでください.(正しいものをクリック)
(1)


とするとき
ならば
ならば
ならば
ならば
(2)


とするとき
ならば
ならば
ならば
ならば
(3)


とするとき

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■[個別の頁からの質問に対する回答][集合の要素を用いた証明について/17.2.26]
問題1の(1)正解は3∉Aのはずですが、それをクリックしてもXマークが出てしまうようです。
=>[作者]:連絡ありがとう.そうでないことはない・・・と言っているうちにややこしくなっていたようです.訂正しました.