集合の要素を用いた証明

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== 集合の要素を用いた証明 ==

【要点】
集合を表す方法には「外延的記法で表す方法」と「内包的記法で表す方法」がある．
外延的記法とは

$A=\{1,\hspace{5}2,\hspace{5}3,...\}$

のように要素を書き並べる方法のことをいう．
内包的記法とは

$A=\{x\hspace{5}\mid\hspace{5}p(x)\}$

のように条件 $p(x)$ を満たす変数 $x$ の集まりとして書く方法のことをいう．

条件を幾つも使って

$A\cup B=\{x\hspace{5}\mid\hspace{5}x\in A\hspace{5}or\hspace{5}x\in B\}$
$A\cap B=\{x\hspace{5}\mid\hspace{5}x\in A\hspace{5}and\hspace{5}x\in B\}$

のように書くことができるが，

$A\cap B=\{x\hspace{5}\mid\hspace{5}x\in A\hspace{5},\hspace{5}x\in B\}$

のようにカンマで区切って並べた場合は，and （かつ）の省略とする．or （または）は省略できない．

$x$ が集合 $A$ の要素であることは

$x\in A$

で表し， $x$ が集合 $A$ の要素でないことは

$x\notin A$

で表す．

→右上に続く

【問題１】　Nは自然数全体の集合，Zは整数全体の集合とするとき，各々正しいものを下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック）

(1)
$A=\{2n\hspace{5}\mid \hspace{5}n\in Z \},\hspace{5}B=\{2n+ 1\hspace{5}\mid \hspace{5}n\in Z \}$ とするとき

解説やり直す

$3\in A$ $4\notin A$ $3\notin A$ $4\in B$

$A=\{...,-4,-2,0,2,4,6,...\}$

すなわち $A$ は偶数全体の集合

$B=\{...,-3,-1,1,3,5,...\}$

すなわち $B$ は奇数全体の集合

だから
$3\notin A$ …（答）

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(2)
$A=\{2n+ 1\hspace{3}\mid \hspace{3}n\in Z \},\hspace{3}B=\{2n-1\hspace{3}\mid \hspace{3}n\in Z \}$ とするとき

解説やり直す

$A=B$

$A\subset B$ であるが $B\subset A$ ではない

$B\subset A$ であるが $A\subset B$ ではない

$A\cap B=\emptyset$

$n=...,-2,-1,0,1,2,3,...$ とすると

$A=\{...,-1,1,3,5,7,...\}$ は奇数全体の集合
$B=\{...,-3,-1,1,3,5,...\}$ も奇数全体の集合

だから
$A=B$ …（答）
（※ｎ＝0のときの値が１つずれているだけで全体としては同じものを表している）

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(3)
$A=\{2n+ 1\hspace{3}\mid \hspace{3}n\in N \},\hspace{3}B=\{2n-1\hspace{3}\mid \hspace{3}n\in N \}$ とするとき

解説やり直す

$A=B$

$A\subset B$ であるが $B\subset A$ ではない

$B\subset A$ であるが $A\subset B$ ではない

$A\cap B=\emptyset$

$n=1,2,3,...$ とすると

$A=\{3,5,7,...\}$ は３以上の奇数の集合
$B=\{1,3,5,...\}$ は１以上の奇数の集合

だから
$A\subset B$ …（答）

→閉じる←

【要点】
「 $x\in A$ ならば $x\in B$ 」が成り立つとき $A\subset B$ と書く．

すなわち，集合 $A$ の任意の要素が必ず $B$ の要素になるとき， $A\subset B$ と書く．

そこで， $A\subset B$ を証明するには，集合 $A$ の任意の要素 $x$ を使って，その要素が必ず $B$ の要素になることを示せばよい．
（※集合の包含関係を証明するために，要素を使う．）

$A\subset B$ かつ $B\subset A$ のとき $A=B$ と書く．

【例題１】
$A=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3} x=m+ 2n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
$B=\{y\hspace{3}\mid \hspace{3}y=3m+ 4n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
とするとき $A=B$ となることを証明してください．

（証明）
$x\in A$ のとき
$x=m+ 2n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z$ となる整数 $m,n$ が存在する．
このとき
$x=3(-m+ 2n)+ 4(m-n)$ …(*1)
と書けるから
$-m+ 2n=k$
$m-n=l$
$x=3k + 4l,\hspace{3}k\in Z,\hspace{3}l\in Z$
と書ける．すなわち $x\in B$
したがって， $A\subset B$

逆に， $x\in B$ のとき
$x=3m+ 4n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z$ となる整数 $m,n$ が存在する．
このとき
$x=m+ 2(m+ 2n)$ …(*2)
と書けるから
$m=k$
$m+ 2n=l$
$x=k + 2l,\hspace{3}k\in Z,\hspace{3}l\in Z$
と書ける．すなわち $x\in A$
したがって， $B\subset A$

結局 $A=B$ が示された．

必ずしも上記の変形(*1)でなくても $x=3(\hspace{5})+ 4(\hspace{5})$ の形になっていればよい．
たとえば， $x=3(3m+ 2n)+ 4(-2m-n)$ でもよい．

同様にして(*2)でなくても $x=(m+ 2n)+ 2(m+ n)$ でもよい．

【問題２】　Nは自然数全体の集合，Zは整数全体の集合とするとき，各々正しいものを下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック）

(1)
$A=\{x\hspace{3}\mid \hspace{3}x=2m-3n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
$B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=4m-5n\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
とするとき

解説やり直す

$A=B$

$A\subset B$ であるが $B\subset A$ ではない

$B\subset A$ であるが $A\subset B$ ではない

$A\cap B=\emptyset$

$x\in A$ のとき
$x=2m-3n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z$ となる整数 $m,n$ が存在する．
このとき
$x=4(3m+ 2n)-5(2m+ n)$
と書けるから
$3m+ 2n=k$
$2m+ n=l$
$x=4k-5l,\hspace{3}k\in Z,\hspace{3}l\in Z$
と書ける．すなわち $x\in B$
したがって， $A\subset B$

逆に， $x\in B$ のとき
$x=4m-5n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z$ となる整数 $m,n$ が存在する．
このとき
$x=2(2m+ n)-3(-n)$
と書けるから
$2m+ n=k$
$-n=l$
$x=2k-3l,\hspace{3}k\in Z,\hspace{3}l\in Z$
と書ける．すなわち $x\in A$
したがって， $B\subset A$

結局 $A=B$ が示された．

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→右上に続く

(2)
$A=\{x\hspace{3}\mid \hspace{3}x=m+ 2n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
$B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=2m+ 4n\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
とするとき

解説やり直す

$A=B$

$A\subset B$ であるが $B\subset A$ ではない

$B\subset A$ であるが $A\subset B$ ではない

$A\cap B=\emptyset$

$x\in B$ のとき
$x=2m+ 4n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z$ となる整数 $m,n$ が存在する．
このとき
$x=(2m)+ 2(2n)$
と書けるから
$2m=k$
$2n=l$
$x=k+ 2l,\hspace{3}k\in Z,\hspace{3}l\in Z$
と書ける．すなわち $x\in A$
したがって， $B\subset A$

逆に， $x\in A$ のとき
$B$ は偶数の集合だから． $x\in B$ は証明できそうもない．このような場合は反例を１つ示せばよい．
$x=1+ 2\times 1=3\notin B$ だから
$A\subset B$ は成り立たない

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(3)
$A=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=2m,\hspace{3}m\in N\}$
$B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=3n,\hspace{3}n\in N\}$
とするとき

解説やり直す

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=5k,\hspace{3}k\in N\}$

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=6k,\hspace{3}k\in N\}$

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=2m+ 3n,\hspace{3}m\in N,\hspace{3}n\in N\}$

$A\cap B=\emptyset$

$A=\{2,4,6,8,10,12,...\}$
$B=\{3,6,9,12,15,18,...\}$
合だから
$A\cap B=\{6,12,18,...\}$
すなわち
$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=6k,\hspace{3}k\in N\}$

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(4)
$A=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=2m+ 1,\hspace{3}m\in Z\}$
$B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=3n+ 2,\hspace{3}n\in Z\}$
とするとき

解説やり直す

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=5k+ 1,\hspace{3}k\in Z\}$

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=5k+ 2,\hspace{3}k\in Z\}$

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=6k+ 1,\hspace{3}k\in Z\}$

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=6k+ 5,\hspace{3}k\in Z\}$

$A=\{..,\underline{-1},1,3,\underline{5},7,9,\underline{11},13,15,\underline{17},19,..\}$
$B=\{..,\underline{-1},2,\underline{5},8,\underline{11},14,\underline{17},20,...\}$
合だから
$A\cap B=\{..,-1,5,11,17,...\}=\{x\mid\hspace{3}x=6n+ 5,\hspace{3}n\in Z\}$

（きっちり解くには，不定方程式の解き方参照）

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【問題３】　Nは自然数全体の集合，Zは整数全体の集合とするとき，各々正しいものを下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック）

(1)
$A=\{n\hspace{3}\mid\hspace{3}n=2m,\hspace{3}m\in Z\}$
$B=\{n\hspace{3}\mid\hspace{3}n=2m+ 1,\hspace{3}m\in Z\}$
とするとき

解説やり直す

$x\in A,\hspace{3}y\in B$ ならば $x+ y\in A$

$x\in A,\hspace{3}y\in B$ ならば $xy\in A$

$x\in A,\hspace{3}y\in B$ ならば $x-y\in A$

$x\in A,\hspace{3}y\in B$ ならば $\frac{x}{y}\in A$

$x\in A,\hspace{3}y\in B$ ならば
$x=2m,\hspace{3}y=2n+ 1$ とおける
このとき
$x+ y=2m+ 2n+ 1=2(m+ n)+ 1\in B$
$xy=2m(2n+ 1)=2(2mn+ m)\in A$ …（答）
$x-y=2m-(2n+ 1)=2(m-n)+ 1\in B$
$\frac{x}{y}$ は整数とは限らない

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(2)
$A=\{3n+ 1\hspace{3}\mid\hspace{3}n\in Z\}$
$B=\{3n+ 2\hspace{3}\mid\hspace{3}n\in Z\}$
とするとき

解説やり直す

$x\in A$ ならば $x^2\in B$

$x\in B$ ならば $x^2\in A$

$x\in B$ ならば $x^2\in B$

$x\in B$ ならば $x^3\in A$

$x\in A$ ならば
$x=3n+ 1$
$x^2=(3n+ 1)^2=3(3n^2+ 2n)+ 1\in A$
$x\in B$ ならば
$x=3n+ 2$
$x^2=(3n+ 2)^2=3(3n^2+ 4n+ 1)+ 1\in A$
$x^3=(3n+ 2)^3=3(9n^3+ 18n^2 + 12n+ 2)+ 2\in B$
したがって， $x\in B$ ならば $x^2\in A$ …（答）

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(3)
$A=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=k+ \sqrt{2}l,\hspace{3}k\in Z,\hspace{3}l\in Z\}$
$B=\{y\hspace{3}\mid\hspace{3}y=m+ \sqrt{3}n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
とするとき

解説やり直す

$A\cap B=A$

$A\cap B=B$

$A\cap B=Z$

$A\cap B=\emptyset$

$x=y$
すなわち
$k+ \sqrt{2}l=m+ \sqrt{3}n,\hspace{3}(k,l,m,n\in Z)$
ならば
$k=m,\hspace{3}l=n=0$ （詳しくは背理法で示す）
したがって，共通部分は整数： $A\cap B=Z$ …（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[集合の要素を用いた証明について／17.2.26］

問題１の（１）正解は３∉Ａのはずですが、それをクリックしてもＸマークが出てしまうようです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そうでないことはない･･･と言っているうちにややこしくなっていたようです．訂正しました．