■置換積分 (不定積分)携帯版

置換積分の公式
(使い方1)
f(x)dx → f(g(t))g’(t)dt( x=g(t) )
(使い方2)
f(g(x))g’(x)dx → f(t)dt( t=g(x) )
(使い方3)
dx=log|f(x)|+C
≪解説と証明≫・・・これらの公式を丸暗記しても,実際の問題には使えない.以下の証明は参考程度に読むものとし,実際の問題を解くには下記の  を参考にするとよい.

(使い方1)←
置換積分の公式は合成関数微分法の逆と見ることができる.
合成関数の微分法により
= …(1)
y=f(x)dx,x=g(t)のとき …(2)
=f(x),=g’(t)
これらを(1)に代入すると
=f(x)g’(t)=f(g(t))g’(t)
したがって
y=f(g(t))g’(t)dt …(3)
(2)(3)→
f(x)dx=f(g(t))g’(t)dt
(使い方2)←
(使い方1)において左辺と右辺を入れ替えて,変数xtを入れ替えると(使い方2)が得られる.
特に,次の形がよく登場する.
f(sinx)cosxdx
t=sinx=cosx, dx=とおくと
f(sinx)cosxdx=f(t) cosx =f(t)dt
cosxは約分によって消える)
f(cosx)sinxdx
t=cosx=−sinx, dx=とおくと
f(cosx)sinxdx=f(t) sinx =−f(t)dt
sinxは約分によって消える)
(使い方3)←
(使い方2)においてf(x)=tとおく.=f’(x) → dx=
dx==dt=log|t|+C
=log|f(x)|+C

○実際に使うときは,(使い方1)(使い方2)の違いを考える必要はなく,f(x)dxを変数tを用いて,それらに等しい式に変換すればよい(変数uもよく使われる)

○分子が分母の微分に等しいとき(使い方3)は,積分は一瞬で分かる・・・「ただ同然」.

(使い方1)
(1)dx
=tとおく,
x−1=t2,x=t2+1=
=2t → dx=2tdt
dx=2tdt=(6t2+6)dt
=2t3+6t+C=2t(t2+3)+C=2(x−1+3)+C
=2(x+2)+C
(2)
x=tantとおく(⇔t=tan−1x
このとき=
=dx=
=
ところで,三角関数の公式を用いると
tan2t+1=
(tan2t+1)(cos2t)=1
=dt=t+C=tan−1x+C
(使い方2)
(1)(2x+3)4dx
t=2x+3とおくと,(2x+3)4=t4,=2→dx=
(2x+3)4dx=t4 =+C=+C
(2)sin3x cosxdx
sinx=tとおくと,sin3x=t3,=cosx → dx=
sin3cosxdx=t3cosx=t3dt=+C
=+C
(使い方3)
(1)dx
(sinx)’=cosxだから
dx=dx=log|sinx|+C
(2)dx
(x2+4x+5)’=2x+4だから
dx=dx=log(x2+4x+5)+C

x2+4x+5=(x+2)2+1>0が常に成り立つから絶対値記号は不要)
問題次の積分を求めよ.
(正しいものを下から選べ.
暗算では無理なので,各自計算用紙を使えばよい)

(1) (x−1)(x+1)3dx

(x−2)(x+1)2+C (3x−5)(x+1)3+C

(2x−3)(x+1)4+C

(3x2+6x−7)+C (2x−5)(x+1)+C

+C log(x2+x+1)+C
(2) (2x+1)(x2+x+1)2dx

(x−2)(x+1)2+C (3x−5)(x+1)3+C

(2x−3)(x+1)4+C

(3x2+6x−7)+C (2x−5)(x+1)+C

+C log(x2+x+1)+C
(3) dx

(x−2)(x+1)2+C (3x−5)(x+1)3+C

(2x−3)(x+1)4+C

(3x2+6x−7)+C (2x−5)(x+1)+C

+C log(x2+x+1)+C
(4) (x−1) dx

(x−2)(x+1)2+C (3x−5)(x+1)3+C

(2x−3)(x+1)4+C

(3x2+6x−7)+C (2x−5)(x+1)+C

+C log(x2+x+1)+C
(5) sin3xdx

+C +C 3sin2xcosx+C

cosx+C +C +C

log|x−cosx|+C log|1+sinx|+C
(6) cos3xdx

+C +C 3sin2xcosx+C

cosx+C +C +C

log|x−cosx|+C log|1+sinx|+C
(7) dx

+C +C 3sin2xcosx+C

cosx+C +C +C

log|x−cosx|+C log|1+sinx|+C
(8) dx

+C +C 3sin2xcosx+C

cosx+C +C +C

log|x−cosx|+C log|1+sinx|+C
(9) e2x+1dx

e2x+1+C 2e2x+1+C +C

log(ex+e−x)+C log|ex−e−x|+C

log(e2x+1)+C tan−1(ex)+C
(10) dx

e2x+1+C 2e2x+1+C +C

log(ex+e−x)+C log|ex−e−x|+C

log(e2x+1)+C tan−1(ex)+C
(11) dx

e2x+1+C 2e2x+1+C +C

log(ex+e−x)+C log|ex−e−x|+C

log(e2x+1)+C tan−1(ex)+C
(12) (x>0)

xlogx+C log|logx|+C log|xlogx|+C

+C +C

+C +C
(13) dx (x>0)

xlogx+C log|logx|+C log|xlogx|+C

+C +C

+C +C
(14) dx (x>0)

xlogx+C log|logx|+C log|xlogx|+C

+C +C

+C +C
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