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== 1階線形 微分方程式 ==

 次の形の常微分方程式を1階線形常微分方程式といいます.
.y'+P(x)y=Q(x)…(1)
方程式(1)の右辺:Q(x)0とおいてできる同次方程式
(この同次方程式は,変数分離形になり比較的容易に解けます)
.y'+P(x)y=0…(2)
の1つの解をu(x)とすると,方程式(1)の一般解は
.y=u(x)(dx+C)…(3)
で求められます.
 参考書には
上記のu(x)の代わりに,eP(x)dxのまま書いて
y=eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+C)…(3')
と書かれているのが普通です.この方が覚えやすい人は,これで覚えるとよい.ただし,赤と青で示した部分は,定数項まで同じ1つの関数の符号だけ逆のものを使います.

 筆者は,この複雑な式を見ると頭がクラクラ(目がチカチカ)して,どこで息を継いだらよいか困ってしまうので,上記の(3)のように同次方程式の解をu(x)として,2段階で表すようにしています.
(解説)
 同次方程式(2)は,次のように変形できるので,変数分離形です.
.y'+P(x)y=0
.=−P(x)y
.=−P(x)dx
両辺を積分すると
.=−P(x)dx
.log|y|=−P(x)dx
.|y|=eP(x)dx+A=eAeP(x)dx=BeP(x)dxとおく
.y=±BeP(x)dx=CeP(x)dx…(4)
 (4)式は,Cを任意定数とするときに(2)を満たすが,そのままでは(1)を満たさない.
 このような場合に,
.同次方程式y'+P(x)y=0
一般解の定数Cを関数に置き換えて
.非同次方程式y'+P(x)y=Q(x)
の解を求める方法を定数変化法という.
 なぜ,そんな方法を思いつくのか?自分にはなぜ思いつかないのか?などと考えても前向きの考え方にはなりません.思いついた人が偉いと考えるとよい.
 定数変化法は,数学史上に残るラグランジェの功績ですが,後からついていく我々は,ラグランジェが発見した方法のおいしいところをいただいて,節約できた時間を今の自分に必要なことに当てたらよいと割り切るとよい.
 ただし,この定数変化法は2階以上の微分方程式において,同次方程式の解から非同次方程式の解を求める場合にも利用できるなど適用範囲の広いものなので,「今度出てきたら,真似してみよう」と覚えておく値打ちがあります.
(4)式において,定数Cを関数z(x)に置き換えて
.u(x)=eP(x)dxは(2)の1つの解
.y=z(x)u(x)…(5)
とおいて,関数z(x)を求めることにする.
積の微分法により:y'=(zu)'=z'u+zu'だから,(1)式は次の形に書ける.
.z'u+zu'+P(x)y=Q(x)…(1')
ここでu(x)は(2)の1つの解だから
.u'+P(x)u=0
.zu'+P(x)zu=0
.zu'+P(x)y=0
そこで,(1')において赤で示した項が消えるから,関数z(x)は,またしても次の変数分離形の微分方程式で求められる.
.z'u=Q(x)
.u=Q(x)
.dz=dx
したがって
.z=dx+C
(5)に代入すれば,目的の解が得られる.
.y=u(x)(dx+C)
 理論の上では上記のように解けますが,実際の積分計算 が難しいかどうかは
u(x)=eP(x)dxdxがどんな計算
になるかによります.
すなわち,P(x)の形によっては,
筆算では手に負えない問題になることがあります.
【例題1】
 微分方程式y'−y=2xの一般解を求めてください.
 この方程式は,(1)において,P(x)=−1, Q(x)=2xという場合になっています.
(解答)
♪==定数変化法の練習も兼ねて,じっくりやる場合==♪
はじめに,同次方程式y'−y=0の解を求める.
【指数法則】…よく使う
.ex+C1=exeC1
.=y
.=dx
.=dx
.log|y|=x+C1
.|y|=ex+C1=eC1ex=C2exeC1=C2とおく)
.y=±C2ex=C3ex1±C2=C3とおく)
次に,定数変化法を用いて,1C3=z(x)とおいてy=zexzxの関数)の形で元の非同次方程式の解を求める.
.y=zexのとき
.y'=z'ex+zexとなるから
元の方程式は次の形に書ける.
.z'ex+zex−zex=2x
.z'ex=2x
.ex=2x
.dz=dx=2xe−xdx
.dz=2xe−xdx
.z=2xe−xdx
f=xf '=1
g'=e−xg=−e−x
右のようにxを微分する側に選んで,部分積分によって求める.
.fg' dx=fg−f 'g dxにより
.xe−xdx=−xe−x+e−xdx=−xe−x−e−x+C4
.z=2(−xe−x−e−x+C4)
yに戻すと
.y=2(−xe−x−e−x+C4)ex
.y=−2x−2+2C4ex=−2x−2+Cex…(答)
♪==(3)または(3')は公式と割り切って直接代入する場合==♪
P(x)=−1だから,u(x)=eP(x)dx=ex
Q(x)=2xだから,dx=dx=2xe−xdx
.=2(−xe−x−e−x)+C
したがって
y=ex{ 2(−xe−x−e−x)+C}=−2x−2+Cex…(答)
【例題2】
 微分方程式y'+2y=3e4xの一般解を求めてください.
 この方程式は,(1)において,P(x)=2, Q(x)=3e4xという場合になっています.
(解答)
♪==定数変化法の練習も兼ねて,じっくりやる場合==♪
はじめに,同次方程式y'+2y=0の解を求める.
.=−2y
.=−2dx
.=−2dx
.log|y|=−2x+C1
.|y|=e−2x+C1=eC1e−2x=C2e−2xeC1=C2とおく)
.y=±C2e−2x=C3e−2x1±C2=C3とおく)
次に,定数変化法を用いて,C3=z(x)とおいてy=ze−2xzxの関数)の形で元の非同次方程式の解を求める.
.y=ze−2xのとき
.y'=z'e−2x−2ze−2xとなるから
元の方程式は次の形に書ける.
.z'e−2x−2ze−2x+2ze−2x=3e4x
.z'e−2x=3e4x
.e−2x=3e4x
.dz=3e4xe2xdx=3e6xdx
.dz=3e6xdx
.z=3e6xdx
.=e6x+C4
yに戻すと
.y=(e6x+C4 )e−2x
.y=e4x+Ce−2x…(答)
♪==(3)または(3')は公式と割り切って直接代入する場合==♪
P(x)=2だから,u(x)=e2dx=e−2x
Q(x)=3e4xだから,dx=3e6xdx
.=e6x+C

したがって
y=e−2x{ e6x+C }=e4x+Ce−2x…(答)



※正しい番号をクリックしてください.
それぞれの問題は暗算では解けませんので,計算用紙が必要です.
※ブラウザによっては,番号枠の少し上の方が反応することがあります.

【問題1】
 微分方程式y'−2y=e5xの一般解を求めてください.
1y=e3x+Ce2x 2y=e5x+Ce2x
3y=e6x+Ce−2x 4y=e3x+Ce−2x

【問題2】
 微分方程式y'cosx+ysinx=1の一般解を求めてください.
1y=sinx+Ccosx 2y=cosx+Csinx
3y=sinx+Ctanx 4y=tanx+Csinx

【問題3】
 微分方程式xy'−y=2x2+xの一般解を求めてください.
1y=x(x+log|x|+C) 2y=x(2x+log|x|+C)
3y=x(x+2log|x|+C) 4y=x(x2+log|x|+C)

【問題4】
 微分方程式y'+y=cosxの一般解を求めてください.
1y=(+C)e−x
2y=(+C)e−x
3y=+Ce−x
4y=+Ce−x




○ 微分方程式の解は,y=f(x)の形のyについて解かれた形(陽関数)になるものばかりでなく,x2+y2=Cのような陰関数で表されるものもあります.もちろん,x=f(y)の形でxyで表される場合もありえます.
 そうすると,場合によってはxyの関数として解くことも考えられます.
【例題3】
 微分方程式(y−x)y'=1の一般解を求めてください.
(解答)
この方程式は,y'=と変形
できますが,変数分離形でもなく線形微分方程式の形にもなっていません.
しかし,==y−xx'+x=y
と変形すると,xについての線形微分方程式になっており,これを解けばxyで表されます.
.==y−xx'+x=yと変形するとxy
の線形方程式で表されることになるので,これを解きます.
同次方程式:=−xを解くと
.=−dy
.=−dy
.log|x|=−y+C1
.|x|=e−y+C1=eC1e−y
.x=±eC1e−y=C2e−y
非同次方程式の解をx=z(y)e−yの形で求める
積の微分法によりx'=z'e−y−ze−yとなるから,元の微分方程式は
.z'e−y−ze−y+ze−y=y
.z'e−y=y
I=yeydxは,次のよう
に部分積分で求めることができます.
f=yf '=1
g'=eyg=ey
I=yeyeydy=yey−ey+C
両辺にeyを掛けると
.z'=yey
.z=yeydy
.=yey−ey+C
したがって,解は
.x=(yey−ey+C)e−y
.=y−1+Ce−y
【問題5】
 微分方程式(y2+x)y'=yの一般解を求めてください.
1x=y+Cy2 2x=y2+Cy
3x=y+log|y|+C 4x=ylog|y|+C

【問題6】
 微分方程式(ey−x)y'=yの一般解を求めてください.
1x=y(ey+C) 2x=ey−Cy
3x= 4x=

【問題7】
 微分方程式(x+2ylogy)y'=y (y>0)の一般解を求めてください.
1x=+C 2x=+C
3x=y(logy+C) 4x=y((logy)2+C)


1階線形微分方程式[例と解]

において




のできるだけ多くの組合せで方程式と解を示す.
1.(2)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は
は部分積分を2回行うと求められる.

…(答)
(検算)

とおくと






だから,微分方程式を満たす.

1.(3)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に(高校で習う整式,分数関数,指数関数,対数関数,三角関数やそれらの有限回の組合せで)表すことはできない.---ここでは積分記号を残したまま解とする--この形なら微分して検算することができる.
は積分指数関数と呼ばれ,で表されることがある.
(検算)

とおくと




だから,微分方程式を満たす.

1.(4)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)


とおくと





だから,微分方程式を満たす.

1.(5)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は
…(答)
(検算)

のとき



だから,微分方程式を満たす.

1.(6)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は
この積分は,部分積分2回で求められる.
とおくと







…(答)
(検算)

のとき



だから,微分方程式を満たす.

1.(7)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと





だから,微分方程式を満たす.

2.(1)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと





だから,微分方程式を満たす.

2.(2)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと





だから,微分方程式を満たす.

2.(3)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと





だから,微分方程式を満たす.

2.(4)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと





だから,微分方程式を満たす.

2.(5)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと





だから,微分方程式を満たす.

2.(6)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと





だから,微分方程式を満たす.

3.(2)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は
…(答)
(検算)

のとき



だから,微分方程式を満たす.

3.(3)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと





だから,微分方程式を満たす.

3.(4)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は
…(答)
(検算)

のとき



だから,微分方程式を満たす.

3.(5)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は …(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと




だから,微分方程式を満たす.

3.(6)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は …(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと




だから,微分方程式を満たす.

4.(2)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は
に対してとおく置換積分を行うと


部分積分により



…(答)
(検算)

のとき



だから,微分方程式を満たす.

4.(3)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと




だから,微分方程式を満たす.

4.(5)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと





だから,微分方程式を満たす.

5.(2)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと





だから,微分方程式を満たす.

6.(2)
同次方程式

の1つの解は
元の方程式の解は
…(答)
この形の積分は初等的に表せない.
(検算)

とおくと





だから,微分方程式を満たす.

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■[個別の頁からの質問に対する回答][1階線形 微分方程式について/17.8.16]
特に気にすることではないと思いましたが、微分方程式の1回線形微分方程式のページにおいて、例題3の解答の積の微分によりx&apos=…… となっています。 もしかすると私のスマートフォンが原因かもしれませんが、一応アンケートに書かせていただきました。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.
' と書くべきところを &apos と書いていたようです.(セミコロンが1つ足りない)
■[個別の頁からの質問に対する回答][1階線形 微分方程式について/17.8.13]
以前参考書で読んだのは、 exp(∫P(x)dx) ※不定積分でCを出さない を両辺にかける事で 左辺=exp(∫P(x)dx) *y'+exp(∫P(x)dx) *y=(exp(∫P(x)dx) *y)' 右辺=exp(∫P(x)dx) *Q(x) となるので、両辺をxで積分して最後に両辺にexp(-∫P(x)dx)を掛ければyが出てきます。 これでやっていることは茶色字で書かれている公式と中身は同じですが、 暗記事項はexp(∫P(x)dx)を両辺に掛けることだけで良く、 0からの導出は厳しいですが結果的に正しいことを示すのは容易で 変形の検算も比較的容易なのでオススメです。ご参考までに。 まぁ結局の所慣れた方法で計算するのが一番な気はしますけども…
=>[作者]:連絡ありがとう.なるほど,そのやり方でできます・・・ただし,あなたの式では左辺第2項に P(x) が抜けているようです.