■行列と連立方程式
 
[要点]
連立1次方程式 
は,行列を用いて, 
と書くことができます。 
すなわち,A=X=P=とおくと, 
となります。


方程式は,
(ア) Δ=ad−bc≠0のとき,ただ一つの解を持ち,
X=A-1 となります。
(イ) Δ=ad-bc=0のとき,成分に分けて調べると
i) (1)//(2)のとき 解なし
ii) (1)(2)が一致するとき,直線(1)上の点はすべて解となります。
※補足説明
一つの行列の等式は,その成分数だけの連立方程式と同じです。
例1:

は,連立方程式 
{ a=1
b=0
c=0
d=1
と同じです。
例2:

は,連立方程式 
{ x=3
y=4
と同じです。 
例3:

は,左辺を計算して2×1行列にしておくと 
{ ax+by=p
cx+dy=q
と同じです。 

(ア) の両辺に左からA-1を掛けると,
-1
     これを成分に分ければ解となります。

(イ) Δ=0のとき,行列ではこれ以上変形できないので,成分に分けます。

において,Δ=ad−bc=0 のときは,
i) のように(1)と(2)が平行な2直線となっているときは,共有点が無く,「解なし」となります。
ii) のように(1)(2)が同じ直線を表すときは,(1)または(2) [同じ直線] 上にある点は,方程式(1)(2)を満たすこととなり,この連立方程式の解となります。したがって,直線(1)または(2)上の点はすべて解で,無数にあります。3x+y=1を満たす(x,y)の組全部となります。
媒介変数表示で書けば、x=t,y=1−3t (tは実数) となります。

--
[例題] 逆行列を用いて,次の連立方程式を解きなさい。
[答案例]

x=7,y=-10・・・答
[例題] 次の連立方程式を解きなさい。
[答案例]
Δ=4-4=0
2x+y=1 の辺々2倍すると 4x+2y=2 と一致するから,
2x+y=1 を満たすx,yは 両方の方程式を満たす。
2x+y=1を満たす(x,y)はすべて解・・・答


[直線2x+y=1上の点・・・答]
[x=t,y=1-2t (tは実数)・・・答]
[例題] 次の連立方程式を解きなさい。
[答案例]
Δ=12-12=0
2x-3y=1 → -4x+6y=-2・・・(1)
条件より    -4x+6y=1 ・・・(2)
(1)(2)を両方満たすことはできないから,
解なし・・・答
--[問題]逆行列を用いて,次の連立方程式を解きなさい。(計算用紙が必要です。)
x=,y=
x=,y=
x=,y=
【付録1】…2元連立1次方程式(未知数2個,方程式2個のもの)
 各自で確かめたい連立方程式を書き込んでください.(空欄を移動するにはTabキーが使えます)
ただし
• 整数係数の問題に限ります.
• 解がただ一つに定まる問題に限ります.(不能解・不定解となる問題は扱っていません)
()x+()y=() …(1)
()x+()y=() …(2)
解く消す

【付録2】…3元連立1次方程式(未知数3個,方程式3個のもの)
 各自で確かめたい連立方程式を書き込んでください.(空欄を移動するにはTabキーが使えます)
ただし
• 整数係数の問題に限ります.
• 解がただ一つに定まる問題に限ります.(不能解・不定解となる問題は扱っていません)
()x+()y+()z=() …(1)
()x+()y+()z=() …(2)
()x+()y+()z=() …(3)
解く消す

○ Excelを使って連立方程式を解く方法は⇒この頁
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