三角関数の不定積分 (置換積分,部分積分を前提としない範囲)携帯版は別頁

三角関数の積分公式
(1)sinxdx=−cosx+C
(1’)sinkxdx=−+C
(1”)sin(ax+b)dx=−+C
(2)cosxdx=sinx+C
(2’)coskxdx=+C
(2”)cos(ax+b)dx=+C
(3)tanxdx=−log|cosx|+C
(3’)tankxdx=−+C
(3”)tan(ax+b)dx=−+C
(解説)
(1)←
(cosx)=−sinx(cosx)=sinx
sinxdx=cosx+C
(1’)←
合成関数の微分法により
=
y=cosu, u=kxとおくと
=−sinu×k=−sinkx×k
(coskx)=−sinkx×k
()=sinkx
したがって
sinkxdx=+C
同様にして, (1”) が得られる.
(ax+b)=aに注意 (定数項は消える).
したがって, の分母にはbは含まれない.
(2)←
(sinx)=cosx
cosxdx=sinx+C
(2’)←
y=sinu, u=kxとおくと
=cosu×k=coskx×k
(sinkx)=coskx×k
()=coskx
したがって
coskxdx=+C
同様にして, (2”) が得られる.
分母にはbがないことに注意.
(4)dx=−+C=−cotx+C
(4’)dx=−+C=−+C
(4”)dx=−+C
=−+C

(5)dx=tanx+C
(5’)dx=+C
(5”)dx=+C

(3)←
log|x|=
(cosx)=−sinx
y=log|u|, u=cosxとおくと
==×(−sinx)=×(−sinx)=−tanx
(log|cosx|)=−tanx
(log|cosx|)=tanx
tanxdx=log|cosx|+C
(3’)←
y=log|s|, s=cost, t=kxとおくと
==(−sint)×k=×(−sint)×k
(log|coskx|)=−tankx×k
()=tankx
したがって
tankxdx=+C
同様にして, (3”)が得られる.
分母にはbがないことに注意.
(4)←
=cotx=
( )=
したがって
(cotx)==−
(cotx)=
ゆえに
dx=cotx+C
(4’)(4”) 略
(5)←
tanx=
( )=

だから
(tanx)==
ゆえに
dx=tanx+C
(5’)(5”) 略

(1’)sin2xdx=−+C
(1”)sin(2x+1)dx=−+C
(2’)cos2xdx=+C
(2”)cos(2x+1)dx=+C
(3’)tan2xdx=−+C
(4’)dx=−+C
(5’)dx=+C
次の公式を用いると三角関数の積・平方をそれらの和・差に直して積分を求めることができる.
(A)sinαcosβ={sin(α+β)+sin(α−β)}
(B)cosαsinβ={sin(α+β)−sin(α−β)}
(C)cosαcosβ={cos(α+β)+cos(α−β)}
(D)sinαsinβ=−{cos(α+β)−cos(α−β)}
(E)sin2α=
(F)cos2α=
(G)1+tan2α=tan2α=−1→(5)
(H)1+==−1→(4)

(A)sin4xcos2xdx={sin6x+sin2x}dx ←(1’)
={}+C=−+C
(C)cos4xcos2xdx={cos6x+cos2x}dx ←(2’)
={+}+C=++C
(D)sin4xsin2xdx=−{cos6x−cos2x}dx ←(2’)
=−{}+C=−++C
(E)sin22xdx=dx=(x−)+C
=x−+C
(F)cos22xdx=dx=(x+)+C
=x++C
(G)tan22xdx=(−1)dx=−x+C

積分の方がtan2xの次数が低く見えて奇妙な感じを受けるが,これで正しい.
(H)dx=(−1)dx=−−x+C
問題次の不定積分を求めよ.
(解答は選択肢から選べ.計算用紙が必要.)
(1) sin3xdx

++C +C

+C +C

+C +C
(2) sin23xdx

++C +C

+C +C

+C +C
(3) dx

++C +C

+C +C

+C +C
(4) cos3xdx

++C +C

+C +C

+C +C
(5) cos23xdx

++C +C

+C +C

+C +C
(6) dx

++C +C

+C +C

+C +C
(7) tan3xdx

+x+C −x+C

+x+C −x+C

+C +C
(8) tan23xdx

+x+C −x+C

+x+C −x+C

+C +C
(9) dx

+x+C −x+C

+x+C −x+C

+C +C
(10) dx

+x+C −x+C

+x+C −x+C

+C +C
(11) sin5xsinxdx

++C +C

++C ++C

+C +C
(12) sin5xcosxdx

++C +C

++C ++C

+C +C
(13) cos5xcosxdx

++C +C

++C ++C

+C +C

■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の不定積分について/18.9.5]
いつも参考になってます!
=>[作者]:連絡ありがとう.「いつも参考になってます!」とは微妙な表現かな.主語は何かと一瞬詰まるが,すれすれセーフかな.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の不定積分について/18.6.28]
公式(4)の中に出てくるーcotとは−cosのことでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.今の高校の教科書では sinθ,cosθ,tanθまでは書かれていますが,それらの逆数 cosecθ,secθ,cotθは書かれていないのが普通です.(学習指導要領からの逸脱と言われないように,言ってはならないと自己検閲してしまう)他方で,高専や大学では,そんなことは分かっていて当然という対応もあり,隙間が埋まらないことがあるようです.接続がスムーズに行くように,両方から手を差し伸べる方がよいように思いますが.
【ポイント】読むときは「3文字目の逆数」と覚えます.自分が書く必要はなく,今まで通りに書けばよい.

自分が書くときは,
などと書けば十分です.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の不定積分について/18.5.28]
3が邪魔
=>[作者]:連絡ありがとう.??それがないと sin kx, cos kxなどの練習にならない
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の不定積分について/17.8.7]
(5)← 非常に参考になりました。 ひとつ訂正箇所があるのですが、三角関数の不定積分の(5)で tanx=sinxcosx d/dx( f(x)g(x))=f’(x)g(x)−f(x)g’(x)/g(x)2 【だから d/dx(tanx)=cosxcosx−sinx(−cosx)/cos2x=1/cos2x】 とありますが 【だから d/dx(tanx)=cosxcosx−sinx(−sinx)/cos2x=1/cos2x】 ではないでしょうか。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の不定積分について/16.12.8]
非常に分かりやすく、やりがいのあるwebです。
=>[作者]:連絡ありがとう.

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