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■組分け …《解説》
「順列」「組合せ」は場合の数の数え方,確率の基本として最重要な内容ですが,この頁で扱う「組分け」というのは,組合せに並ぶような位置を占めていません.どちらかというと組合せの応用問題の1つの形に付けられた名前です
【例1】
■基本
 9人の人をAの部屋に4人,Bの部屋に3人,Cの部屋に2人入れる方法は,945322通り=1260通りです.
(解説)
部屋に名前(区別)がある場合--これが基本
全体Aの人数残りBの人数さらに残りCの人数
したがって,9人の人を4人,3人,2人の3組に分ける方法は,
945322通り=1260通りです.
 4人の組はAにしか入れず,3人の組はBにしか入れず,2人の組はCにしか入れません.だから,部屋を決める場合と同じになります.
(同様にして)
 9人の人をAの部屋に3人,Bの部屋に3人,Cの部屋に3人入れる方法は,
936333通り=1680通りになります.

■単に組に分けるのは,部屋に区別がない場合に対応します

 9人の人を3人,3人,3人の3組に分ける方法は,部屋に区別がある場合÷3!です.

 3組に分ける方法をx通りとおき,まず組分けをしてから部屋に入れるとすると,x通りの各々について部屋に入れる方法が3!通りあります.
だから,

x=部屋に区別がある場合(基本)÷3!通り
となります.

⇒ 誰と同じ組になるかということだけに関心がある場合,例えば次の分け方は全部同じ1つの分け方です.
 だから,「1つの組分け」に対して「A,B,Cの3つの部屋に入る方法」は3!=6倍あります.
A{1,2,3}, B{4,5,6}, C{7,8,9}


A{1,2,3}, C{4,5,6}, B{7,8,9}


B{1,2,3}, A{4,5,6}, C{7,8,9}


B{1,2,3}, C{4,5,6}, A{7,8,9}


C{1,2,3}, A{4,5,6}, B{7,8,9}


C{1,2,3}, B{4,5,6}, A{7,8,9}

【例2】
■基本(部屋に区別がある場合)
 9人の人をAの部屋に5人,Bの部屋に2人,Cの部屋に2人の3組に分ける方法
Aの部屋に入る5人を選ぶ方法が95=126通り
その各々について,残り4人からBの部屋に入る2人を選ぶ方法が42=6通り
その各々について,残り2人は自動的にCの部屋に決まるから1通り
結局,126×6×1=756通り
■応用(部屋に区別がない場合)
 9人の人を5人,2人,2人の3組に分ける方法
このような組に分ける方法がx通りあるとして,上記の「基本=部屋の区別がある場合」との関係を調べる.
各々の組わけに対して,5人の組は必ずAの部屋に入る.
次に,2人の組はBの部屋に入るかCの部屋に入るか2!通りある.
だから,「基本=部屋の区別がある場合」はx×2!通り
x×2!=756
x=378
(参考)
 部屋に区別がある次の2通りの入り方は,組分けとしては同じものです.
A{1,2,3,4,5}, B{6,7}, C{8,9}


A{1,2,3,4,5}, C{6,7}, B{8,9}
(Aの部屋とはメンバ入れ替えできません.)
※部屋に区別がある場合÷2!と覚えてしまってもよい.
《組分けの要点》
Aの人数=p,Bの人数=q,Cの人数=r,合計=nとするとき
基本は
nCp×n−pCq×n−p−qCr
p+q+r=n → n−p−q=rだから3個目の式は
n−p−qCr=rCr=1
になる.
(Cの部屋に入れる方法は,残った人に自動的に決まってしまう)
組に名前がなく,3組の人数が同じときは, 基本÷3!通り

組に名前がなく,2組の人数が同じときは, 基本÷2!通り

【例3】
 8人の人を次の組に分ける方法は各々何通りあるか
(1) 4人,4人の2組に分ける場合
…(答)
(2) 3人,3人,2人の3組に分ける場合
…(答)
(3) 2人,2人,2人,2人の4組に分ける場合
…(答)
(4) 5人,2人,1人の3組に分ける場合
…(答)

※(4)の問題は,同じ人数の組がないので,部屋に名前が付いている場合とまったく同じ結果になります.すなわち,Aの部屋に5人,Bの部屋に2人,Cの部屋に1人入れる方法と同じです.


《問題》 正しいものをクリックしてください.
≪1≫
 6人の生徒を,Aの部屋に3人,Bの部屋に3人入れる方法は何通りありますか.


≪2≫
 6人の生徒を,3人ずつの2組に分ける方法は何通りありますか.


≪3≫
 6人の生徒を,Aの部屋に2人,Bの部屋に2人,Cの部屋に2人入れる方法は何通りありますか.


≪4≫
 6人の生徒を,2人ずつの3組に分ける方法は何通りありますか.


≪5≫
 7人の生徒を,3人,2人,2人の3組に分ける方法は何通りありますか.




≪6≫
 A室は3人部屋,B室は2人部屋,C室は1人部屋である.
6人の客がこの旅館に泊まるとき,部屋の決め方は何通りありますか.


≪7≫
 6人の生徒を3組に分ける方法は,全部で何通りありますか.ただし,どの組にも少なくとも1人の生徒がいるものとします.


≪8≫
 8人を3組に分ける方法は何通りあるか.ただし,1組の人数は2人または3人とする.
(芝浦工大)


≪9≫
 男子6人,女子3人の合計9人を3人ずつの3組に分けるとき,どの組にも女子がいるような分けかたは何通りありますか.


≪10≫
 9人を3人ずつの3組に分けるとき,特定の2人が同じ組になる分け方は何通りありますか.



■[個別の頁からの質問に対する回答][組分けについて/18.8.6]
手持ちの教科書に次のように例題とその回答が載っていますが、どうも納得できません。 例題:7人を次のようにする方法は、何通りあるか。 (1)部屋A,B,Cに2人ずつ入れ、部屋Dに1人入れる。 教科書記載の解答:7C2×5C2×3C2=630通り 私の思う解答:630×3×2=3780通り 教科書記載の解答は、ただ2人、2人、2人、1人にわけただけであり、本来は3つの2人組をABC3つの部屋に振り分ける順列3P3をかける必要があると考えています。 (2)2人、2人、2人、1人の4組に分ける。 教科書記載の解答:(1)でABCの区別をなくすと、同じものが3!通りずつできるから、求める方法の総数は630/(3!)=105通り 私の思う解答:7C2×5C2×3C2=630通り 私の考えはおかしいですか? お手数ですが、ご協力いただけませんでしょうか。 よろしくお願いします。
[追伸]教科書の組分けの例題が分からずに先ほど質問しましたが、自力で分かりました。お手数おかけしました。
=>[作者]:連絡ありがとう.分かったのでもうよいということですが,順列・組合せ・確率の問題で解き方・考え方が正しいかどうかを確かめる方法を,長年考えてきました…他の問題なら,グラフを描くなど別の根拠を示すことができますが,順列・組合せ・確率の問題に対して,何が示せるのか?
あなたの疑問に対しては「問題を単純化しても成り立つかどうか調べる」という方法があると思います.つまり,3人を部屋A,B,Cに1人ずつ入れる方法は
(通り)
これに対して,3人を1人ずつ3組に分ける方法は
(通り)
このように,そのページの先頭にある「■部屋に名前(区別)がある場合--これが基本」と書いたようには部屋に区別がある場合に対応しています.
■[個別の頁からの質問に対する回答][組分けについて/18.6.15]
≪9≫の問題、6c2=15 4c2=6 2c2=1 女子3人を別々に分けるので×3 部屋の区別がないので3!で割るのではないのでしょうか? 15×6=90 90×3÷3!=270÷(3×2)=45 で45となるのでは?
=>[作者]:連絡ありがとう.「女子3人を別々に分けるので×3」というのが違います.×3!です.だから,あなたの考え方に沿って計算すると,90×3!÷3!=90になります.
■[個別の頁からの質問に対する回答][組分けについて/18.3.29]
私は、60を過ぎた老人です。必要あって、数学の勉強を始めて、貴殿のサイトにたどり着きました。大変親切な記述は、半ば腐敗した老人の脳にも、大変わかりやすいです。是非このサイトをさらに発展させて、若い人たちの学習の助けになるように、頑張ってください。最後に、御努力ご苦労様です。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][組分けについて/18.1.14]
下に問いがあるのはいいと思います。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][組分けについて/17.9.24]
組み分けで6人を三つの組に分けるのに、特定の3人が同じ所に入る場合を求めよという問題で、特定の3人を選ぶ式がないのはなぜでしょうか? ⚠︎問題はここにあったものではありません
=>[作者]:連絡ありがとう.この質問は,主に順列・組合せで使われる「特定の」という用語の使い方が鍵になると考えられます.
6人の人を3組に分けるとき,特定の3人(源さん,平さん,徳川さん)は同じ組に入る・・・他の3人(豊臣さん,織田さん,足利さん)については特に制限はない・・・という問題を考えてみると,特定の3人は「選ぶまでもなく決まっています」.だから選ぶ必要はないのです.
結局,この問題では
(1) 3人,2人,1人に分ける場合 - - 1人組に入る人を(豊臣さん,織田さん,足利さん)から選べば,他の組もすべて決まるから- - 3通り
(2) 4人,1人,1人に分ける場合 - - 4人目として合流する人を(豊臣さん,織田さん,足利さん)から選べば,他の組もすべて決まるから- - 3通り
(*) これ以外の分け方,例えば4人,2人,0人とか5人,1人,0人のように1人もいない組を作ると3組に分けたとは言わないから,(1)(2)より6通り
特定のという用語の使い方が,まだ十分わからないということでしたらもう1題.
「5人の候補者から3人を選ぶとき,特定の人Aさんは必ず選ばれ,特定の人Bさんは必ず外れるように選ぶ方法は何通りあるか」
はじめから,Aさんを当選させておき,Bさんを落選させておく.残り3人の候補者から2人選んでAさんに合流させたらよいから3C2=3通り(バイキング料理で5種類のメニューから3つ選んで食べる場合に,好き嫌いがあってAは必ず食べたいが,Bは食べたくないとき,メニューの選び方は何通りあるかという問題なら学習意欲がわいてくるかもしれません)
■[個別の頁からの質問に対する回答][組分けについて/17.8.22]
「 □例  部屋に区別がある次の6通りの入り方は,組分けとしては同じものです. とある 」 のところなのですが、何回読んでも理解できずにいたので他のサイトをみて勉強してみると、上記の文章は間違っているのではないかと思ったので報告します。私が間違っていたらごめんなさい。 どこがおかしいかと思ったかというと、部屋に区別がない場合はそりゃ重複してるやつを消す必要があるので3!で割るとわかりますが、部屋に区別があれば割る必要はないですよね?
=>[作者]:連絡ありがとう.組分けと聞いただけで何か割り算をして求めなければならないと思い込んでいませんか.順列,組合せなどは教科書にも登場する使い方の定まった用語ですが,ここでいう組分けは世間でいう組に分ける方法ぐらいの用語です.そこで,普通に読めば
A{1,2,3} B{4,5,6}, C{7,8,9}
A{1,2,3} C{4,5,6}, B{7,8,9}
… …
C{1,2,3} B{4,5,6}, A{7,8,9}
のように部屋に入れば,1,2,3はいつも同じ組にいて,4,5,6も同じ組,7,8,9も同じ組で部屋が変わっただけだということが分かるはずです.
何も計算はいりません.{1,2,3} ,{4,5,6}, {7,8,9}はそれぞれ仲良しグループでいつも同じ部屋に入っているな〜つまり同じ組になっているな〜部屋は変わっても組分けは同じじゃないか〜と読めるのです.
たぶんあなたの場合,何か計算しなければならないと難しく考え過ぎているため,平凡な普通の話が入っていないのです.
■[個別の頁からの質問に対する回答][組分けについて/17.8.14]
徐々に難しくなっていて、問題の構成が非常に良いです。 唯一欠点を挙げるとしたら、文字の字体が読みにくいことかと思います。 できるだけ、左端をそろえたほうが読みやすいかと思います。
=>[作者]:連絡ありがとう.字体という話と左端に揃えるという話のどちらに重点を置いて読めばよいのか?
文章は左揃え,図表は中央揃えが基本でしょう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][組分けについて/17.7.12]
『数学A 組分け』の頁の【例2】の末文「※部屋に区別がある場合÷2!と覚えてしまってもよい.」とありますが、「部屋に区別がない場合」の誤記ではないでしょうか? ご確認願います
=>[作者]:連絡ありがとう.(部屋に区別がない場合)=(部屋に区別がある場合)÷2!なので誤記ではありません.
■[個別の頁からの質問に対する回答][組分けについて/17.7.5]
9番 3!でわるだろ!
=>[作者]:連絡ありがとう.解答を見てもなぜそれが答なのか分からないということですか?・・・屋上屋を重ねて,文章題における人=ペルソナの取り扱いについて,さらに一言述べると.解答に書いてありますように,人は必ず区別します.だから,どの女子と同じ組かということは重要な区別になり,入れ換えると別の組になります.入れ換えることはできません.・・・なお,「わるだろ!」は表現としてよくない.

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