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■組分け …《解説》
「順列」「組合せ」は場合の数の数え方,確率の基本として最重要な内容ですが,この頁で扱う「組分け」というのは,組合せに並ぶような位置を占めていません.どちらかというと組合せの応用問題の1つの形に付けられた名前です
【例1】
■基本
 9人の人をAの部屋に4人,Bの部屋に3人,Cの部屋に2人入れる方法は,945322通り=1260通りです.
(解説)
部屋に名前(区別)がある場合--これが基本
全体Aの人数残りBの人数さらに残りCの人数
したがって,9人の人を4人,3人,2人の3組に分ける方法は,
945322通り=1260通りです.
 4人の組はAにしか入れず,3人の組はBにしか入れず,2人の組はCにしか入れません.だから,部屋を決める場合と同じになります.
(同様にして)
 9人の人をAの部屋に3人,Bの部屋に3人,Cの部屋に3人入れる方法は,
936333通り=1680通りになります.

■単に組に分けるのは,部屋に区別がない場合に対応します

 9人の人を3人,3人,3人の3組に分ける方法は,部屋に区別がある場合÷3!です.

 3組に分ける方法をx通りとおき,まず組分けをしてから部屋に入れるとすると,x通りの各々について部屋に入れる方法が3!通りあります.
だから,

x=部屋に区別がある場合(基本)÷3!通り
となります.

⇒ 誰と同じ組になるかということだけに関心がある場合,例えば次の分け方は全部同じ1つの分け方です.
 だから,「1つの組分け」に対して「A,B,Cの3つの部屋に入る方法」は3!=6倍あります.
A{1,2,3}, B{4,5,6}, C{7,8,9}


A{1,2,3}, C{4,5,6}, B{7,8,9}


B{1,2,3}, A{4,5,6}, C{7,8,9}


B{1,2,3}, C{4,5,6}, A{7,8,9}


C{1,2,3}, A{4,5,6}, B{7,8,9}


C{1,2,3}, B{4,5,6}, A{7,8,9}

【例2】
■基本(部屋に区別がある場合)
 9人の人をAの部屋に5人,Bの部屋に2人,Cの部屋に2人の3組に分ける方法
Aの部屋に入る5人を選ぶ方法が95=126通り
その各々について,残り4人からBの部屋に入る2人を選ぶ方法が42=6通り
その各々について,残り2人は自動的にCの部屋に決まるから1通り
結局,126×6×1=756通り
■応用(部屋に区別がない場合)
 9人の人を5人,2人,2人の3組に分ける方法
このような組に分ける方法がx通りあるとして,上記の「基本=部屋の区別がある場合」との関係を調べる.
各々の組わけに対して,5人の組は必ずAの部屋に入る.
次に,2人の組はBの部屋に入るかCの部屋に入るか2!通りある.
だから,「基本=部屋の区別がある場合」はx×2!通り
x×2!=756
x=378
(参考)
 部屋に区別がある次の2通りの入り方は,組分けとしては同じものです.
A{1,2,3,4,5}, B{6,7}, C{8,9}


A{1,2,3,4,5}, C{6,7}, B{8,9}
(Aの部屋とはメンバ入れ替えできません.)
※部屋に区別がある場合÷2!と覚えてしまってもよい.
《組分けの要点》
Aの人数=p,Bの人数=q,Cの人数=r,合計=nとするとき
基本は
nCp×n−pCq×n−p−qCr
p+q+r=n → n−p−q=rだから3個目の式は
n−p−qCr=rCr=1
になる.
(Cの部屋に入れる方法は,残った人に自動的に決まってしまう)
組に名前がなく,3組の人数が同じときは, 基本÷3!通り

組に名前がなく,2組の人数が同じときは, 基本÷2!通り

【例3】
 8人の人を次の組に分ける方法は各々何通りあるか
(1) 4人,4人の2組に分ける場合
…(答)
(2) 3人,3人,2人の3組に分ける場合
…(答)
(3) 2人,2人,2人,2人の4組に分ける場合
…(答)
(4) 5人,2人,1人の3組に分ける場合
…(答)

※(4)の問題は,同じ人数の組がないので,部屋に名前が付いている場合とまったく同じ結果になります.すなわち,Aの部屋に5人,Bの部屋に2人,Cの部屋に1人入れる方法と同じです.


《問題》 正しいものをクリックしてください.
≪1≫
 6人の生徒を,Aの部屋に3人,Bの部屋に3人入れる方法は何通りありますか.


≪2≫
 6人の生徒を,3人ずつの2組に分ける方法は何通りありますか.


≪3≫
 6人の生徒を,Aの部屋に2人,Bの部屋に2人,Cの部屋に2人入れる方法は何通りありますか.


≪4≫
 6人の生徒を,2人ずつの3組に分ける方法は何通りありますか.


≪5≫
 7人の生徒を,3人,2人,2人の3組に分ける方法は何通りありますか.




≪6≫
 A室は3人部屋,B室は2人部屋,C室は1人部屋である.
6人の客がこの旅館に泊まるとき,部屋の決め方は何通りありますか.


≪7≫
 6人の生徒を3組に分ける方法は,全部で何通りありますか.ただし,どの組にも少なくとも1人の生徒がいるものとします.


≪8≫
 8人を3組に分ける方法は何通りあるか.ただし,1組の人数は2人または3人とする.
(芝浦工大)


≪9≫
 男子6人,女子3人の合計9人を3人ずつの3組に分けるとき,どの組にも女子がいるような分けかたは何通りありますか.


≪10≫
 9人を3人ずつの3組に分けるとき,特定の2人が同じ組になる分け方は何通りありますか.



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