絶対値
《解説》
■　ここでは，絶対値記号の処理について，応用範囲の広い２つの方法を紹介します．１つは，場合分けによって絶対値記号をはずす方法，もう１つはグラフを利用する方法です．

■１　・・・・・・・・・場合分けによって絶対値記号をはずす方法・・・・・・・・・・・

　［定義］　数直線上で，ｘが表わす点と原点との間の距離を|ｘ|で表わします．

例１　上の図で｜３｜＝３です．また，｜−３｜＝３です．
　（正の数ｘについては，絶対値記号は「ただで取れます」．負の数は符号を変えます．）
《要点》
［？］　０は大きい方に含めなければならないか
==＞

　そんなことはありません．｜０｜＝０なので，０は正の数にまとめて取り扱ってもよいし，｜０｜＝−０なので，０は負の数にまとめて取り扱っても成り立ちます．

答案作成の都合で，
(1)　ｘ＞０のとき，|x|=x, 
(2)　x≦0のとき，|x|=-x
　としてもかまいません．
もちろん，
(1)　x>0のとき，|x|=x,
(2)　x=0のとき，|x|=0,
(3)　x<0のとき，|x|=-x
　の３つの場合に分けてもよいわけです．
 
 ただし，（ここが重要）数学では「もれなく重複なく分類する方がよい」ので
(1)　ｘ≧０のとき，｜ｘ｜＝ｘ，
(2)　ｘ≦０のとき，｜ｘ｜＝−ｘ

とするような（０が両方にあるような）分け方は特別な必要(*)がない限り避けるべきです．

(*)例外：数学IIや数学IIIで習う定積分では，絶対値記号をはずすとき，０を両方に含めて
とします．
 
例(１)　次の絶対値記号を場合分けしてはずしなさい．
　|ｘ−１|
　
　
 

（答案）
ア)　ｘ＜１のとき，−ｘ＋１
イ)　ｘ≧１のとき，ｘ−１

 (準備)　
　ｘ−１＜０←→ｘ＜１
　ｘ−１≧０←→ｘ≧１
###　実際にありそうなビックリ答案　###
(間違い答案１)
ア)　ｘ＜０のとき，−ｘ＋１
イ)　ｘ≧０のとき，ｘ−１
・・・要点をそのまま写してもダメ．この問題に応じた場合分けに直すこと．

(間違い答案２)
ア)　｜ｘ−１｜＜０のとき，−ｘ＋１
イ)　｜ｘ−１｜≧０のとき，ｘ−１
・・・絶対値の中身の正負で分けます．ツイタテ| |ごと連れてきては分けられません．
　
《重要》
｜中身全体｜

中身全体が＋，０になるか−になるかで分類します．
例(２)　次の絶対値記号を場合分けしてはずしなさい．
　|ｘ＋２|
　
 
 

（答案）
ア)　ｘ＜−２のとき，

−ｘ−２
イ)　ｘ≧−２のとき，
ｘ＋２
 (準備)　
　ｘ＋２＜０←→ｘ＜−２
　ｘ＋２≧０←→ｘ≧−２
###　実際にありそうなビックリ答案　###
(間違い答案１)
ア)　｜ｘ｜＜−２のとき，−ｘ−２
イ)　｜ｘ｜≧−２のとき，ｘ＋２
・・・ツイタテ| |ごと連れてきては分けられません．シッカリしてや．

(間違い答案２)
ア)　ｘ＋２＜０のとき，−ｘ−２
イ)　ｘ＋２≧０のとき，ｘ＋２
・・・全くの間違いとは言えませんが，横着答案です．ｘの値で分類すべきです．
　
例(３)　次の絶対値記号を場合分けしてはずしなさい．
　｜３−ｘ｜

 
 

（答案）
ア)　ｘ≦３のとき，

３−ｘ
イ)　ｘ＞３のとき，
ｘ−３
 (準備)　
　３−ｘ＜０←→ｘ＞３
　３−ｘ≧０←→ｘ≦３
例(４)　次の絶対値記号を場合分けしてはずしなさい．
　２｜ｘ−２｜＋１
 

 
 

（答案）
ア)　ｘ＜２のとき，

２(−ｘ＋２)＋１＝−２ｘ＋５
イ)　ｘ≧２のとき，
２(ｘ−２)＋１＝２ｘ−３
 (準備)　
　ｘ−２＜０←→ｘ＜２
　ｘ−２≧０←→ｘ≧２
例(５)　次の絶対値記号を場合分けしてはずしなさい．
　｜ｘ＋２｜＋｜ｘ−１｜
 

 
 
 
 
 

（答案）
ア)　ｘ＜−２のとき，

−(ｘ+２)−(x-1)=-2x-1
イ)　−２≦ｘ＜１のとき，
(ｘ+２)−(x-1)=3
ウ)　ｘ≧１のとき，
(ｘ+２)+(x-1)=2x+1
 (準備)　
　|x+2|←→-2との大小で分ける
　|x-1|←→１との大小で分ける

では，２つともはずすには？

===>

 

 
上図のように３つに分けます．
イのときはｘ≧−２かつｘ＜１ですから
|x+2|=x+2，|x-1|=-x+1です

アが重要
ｘ＜−２ならば当然ｘ＜１なので
|x+2|=-x-2,|x-1|=-x+1です

ウも同様に
ｘ≧１ならば当然ｘ≧−２なので
|x+2|=x+2,|x-1|=x-1です
例(６)　次の絶対値記号を場合分けしてはずしなさい．
　｜ｘ｜＋｜ｘ−２｜

 
 

（答案）
ア)　ｘ＜０のとき，

−(ｘ)−(x-2)=-2x+2
イ)　０≦ｘ＜２のとき，
ｘ−(x-２)=2
ウ)　ｘ≧２のとき，
ｘ+(x-2)=2x-2
 (準備)　
　|x|←→0との大小で分ける
　|x-2|←→2との大小で分ける
例(７)　次の絶対値記号を場合分けしてはずしなさい．
　｜|ｘ|−１｜

（答案）
ア)　ｘ＜０のとき，
｜−ｘ−１｜
　(その１)　ｘ＜−１のとき
　−ｘ−１
　(その２)　-1≦ｘ＜０のとき
ｘ＋１
イ)　０≦ｘのとき，
｜ｘ−１｜
　(その１)　０≦ｘ＜１のとき
　−ｘ＋１
　(その２)　1≦ｘのとき
ｘ−１
 (準備)　
　|x|をはずす←→0との大小で分ける
　次に|x|-1をはずす←→|x|-1の正負で分ける
※グラフを利用する方法参照↓
《問題》　次の空欄を埋めなさい．(半角文字で入力すること)(タブキーでも空欄移動ができます．)
(1)
　｜ｘ−２｜−｜ｘ−３｜の絶対値をはずすと
ア)　ｘ＜のとき
−(ｘ−２)＋(ｘ−３)＝−１
イ)　≦ｘ＜のとき
(ｘ−２)＋(ｘ−３)＝２ｘ−５
ウ)　≦ｘのとき
(ｘ−２)−(ｘ−３)＝１
(2)
　−１＜ｘ≦1/2のとき，２｜ｘ＋１｜＋｜２ｘ−１｜
を簡単にすると
となる
(3)
　｜ｘ−ａ｜＋｜ｘ−ａ−１｜の絶対値をはずすと
ア)　ｘ＜のとき
−(ｘ−a)-(ｘ−a-1)=-2x+2a+1
イ)　≦ｘ＜のとき
(ｘ−a)-(ｘ−a-1)＝1
ウ)　≦ｘのとき
(ｘ−a)+(ｘ−a-1)＝2x-2a-1
(4)であることに注意して
ｘ＝ｍ2＋１のとき，次の式をｍで表わしなさい．
ア)　m＜のとき
−(m+1)-(m-1)=-2m
イ)　≦m＜のとき
(m+1)-(m-1)＝2
ウ)　≦mのとき
(m+1)+(m-1)＝2m
《解説つづき》
例(８)　次の方程式を解きなさい．
　｜２−ｘ｜＝５

 

（答案）
ア)　ｘ≦2のとき，

2−ｘ=5よりx=-3
イ)　ｘ>２のとき，
-2+x=5よりx=7
ア）イ）よりx=-3, 7		 (準備)　
　2-x≧0←→x≦2
　2-x<0←→x>2
例(９)　次の不等式を解きなさい．
　｜２ｘ−４｜＜１０

 
 

（答案）
ア)　ｘ≧2のとき，

2x−4<10よりx<7
ゆえに2≦x＜７
イ)　ｘ<２のとき，
-2x+4<10よりx>−3
ゆえに-3＜ｘ＜２




ア）イ）より−３＜ｘ＜７
 

 (準備)　
　2x-4≧0←→x≧2
　2x-4<0←→x<2
 
 


《問題》
(5)
　次の方程式をきなさい．
　２｜１−ｘ｜−２ｘ＝６
（答案）
ア）ｘ≦のとき
　　２（１−ｘ）−２ｘ＝６
　　ｘ＝
イ）ｘ＞のとき
　　２（ｘ−１）−２ｘ＝６
　　−２＝６　だから　解なし
ア）イ）より，ｘ＝・・・（答）

(6)
　２｜ｘ−２｜＝ｘ＋１の解のうち，小さい方の値はｘ＝である．
（2000年度八戸工大入試問題の引用）
　　
（答案）
ア）ｘ＜のとき
　　２（−ｘ＋２）＝ｘ＋１
　　・・・（中略）・・・
　　ｘ＝
イ）ｘ≧のとき
　　２（ｘ−２）＝ｘ＋１
　　・・・（中略）・・・
　　ｘ＝
ア）イ）より，小さいほうの解はｘ＝・・・（答）

■２　・・・・・・・・・グラフを利用する方法・・・・・・・・・・・
《解説つづき》
　｜｜はマイナスのものをプラスに変える（プラスのものはそのまま）ので，ｘ軸よりも下にある部分を折り返す操作を表わします．これを利用して，絶対値が繰り返し適用されているような式のグラフを順に作ることができます．
 
■例　ｙ＝|||x|-1|-1|のグラフ
折り返す＝＝＞下に１移動＝＝＞

折り返す＝＝＞下に１移動＝＝＞折り返す＝＝＞


《問題》
■１
　　||x|-1|-1|＝ｋの解の個数を調べなさい．
（答案）
右の図により，
ア）　ｋ＜０のとき個
イ）　ｋ＝０のとき個
ウ）　０＜ｋ＜１のとき個
エ）　ｋ＝１のとき個
オ）　ｋ＞１のとき個
 
 


■２
　関数f(x)＝||x-4|-5|に対し答えよ．
(1)　y=f(x)のグラフをかけ．
(2)　ｔ＞０に対して，区間−ｔ≦ｘ≦２ｔにおける関数f(x)の最大値をg(t)とする.このとき関数g(t)を求め，そのグラフをかけ．
 
「2000年鳴門教育大入試問題」の引用
(1)
===>===>===>・・・（答）
(2)
 
ア
　右図のようになるのは，２ｔ＜４すなわち０＜ｔ＜２のとき
最大値はg(t)＝f(2t)＝
 
 

　
イ
　右図のようになるのは，
２ｔ≧４
かつ
−（−ｔ）−１＜５
すなわち２≦ｔ＜６のとき，最大値はg(t)＝f(4)＝
 
 

　
ウ
　ｔ≧６かつf(2t)<f(-t)のときは右の図のようになる．
　f(2t)＜f(-t)←→2t-9＜-(-t)-1←→t＜８
　つまり６≦ｔ＜８のとき，最大値はg(t)＝f(-t)＝
 
 

　
エ
　右図のようになるのは８≦ｔのときで，このとき
　最大値はg(t)＝f(2t)＝

　
　
・・・グラフ（答）


■３・・・（２次関数，２次不等式を習っていたらこの問題もしましょう）
　関数　f(x)＝｜ｘ２−３ｘ｜−ｘを考える．
(1)　実数の定数ｋに対して，ｙ＝f(x)のグラフと直線ｙ＝ｋとの共有点の個数を調べよ．
(2)　方程式　f(x)＝２｜ｘ−１｜の解は４個ある．それらの解ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４（ｘ１＜ｘ２＜ｘ３＜ｘ４）を求めよ．
（1999年度近畿大学入試問題の引用）
答案
(1)
　ｙ＝f(x)のグラフは右図（赤線）のようになる．
 


　このうち区間０≦ｘ≦３における正確な関数形は
ｙ＝−ｘ２＋３ｘ−ｘ＝−ｘ２＋２ｘ
＝−（ｘ２−２ｘ）＝−（ｘ−１）２＋１
　だから　頂点は(１，１)

　したがって，ｙ＝f(x)のグラフと直線ｙ＝ｋとの共有点の個数は
ア）　ｋ＜−３のとき個
イ）　ｋ＝−３のとき個
ウ）　−３＜ｋ＜０のとき個
エ）　ｋ＝０のとき個
オ）　０＜ｋ＜１のとき個
カ）　ｋ＝１のとき個
キ）　１＜ｋのとき個

　

 
 
 
 


(2)　右の図により
各々途中計算を選びなさい↓
　
ア）ｘ＜０のとき，
(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１）
(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１）
−(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１）
−(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１）
より　ｘ１＝１−√3
イ）０＜ｘ＜１のとき，
(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１）
(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１）
−(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１）
−(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１）
より　ｘ２＝２−√2
ウ）１＜ｘ＜３のとき，
(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１）
(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１）
−(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１）
−(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１）
より　ｘ３＝√2
エ）３＜ｘのとき，
(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１）
(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１）
−(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１）
−(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１）
より　ｘ４＝３＋√7

 

 

■４・・・（次の問題の答案をまとめるのは大変．しかし，実際は穴埋め問題なので「まとめ」なくてもよい）
 
　ａは実数とする．関数Ｆａ(ｘ)＝｜ｘ−２｜＋｜ｘ−ａ｜＋｜ｘ−６｜
の区間［ａ−２，ａ＋２］における最小値をｍ(ａ)，最大値をＭ(ａ)として，
区間Ｉ(ａ)＝［ｍ(ａ)，Ｍ(ａ)］を考える．次の問いに答えなさい．
(1)　Ｉ(５)＝［，］である．
(2)　ａは正数でｍ(ａ)＝14を満たすという．
　このときａ＝，Ｍ(ａ)＝である。
（2000年度東北薬大入試問題の引用）
　　
答案
(1)　ａ＝５のとき，３≦ｘ≦７（図の茶色の区間）において，赤と緑で示したヒモの長さの和は，
　ア）　３≦ｘ≦６のとき一定（４）だから青で示したヒモが最小のとき（ｘ＝５）最小値４となる．
　イ）　６＜ｘ≦７のとき，６よりも右で三重になっているから，ｘ＝６のときよりも長くなる
以上より，
ｍ(５)＝　（ｘ＝５のとき）
Ｍ(５)＝　（ｘ＝７のとき）
(2)
　ａ≦８ではｍ（ａ）が１４にならない．
　ａ＞８のとき
　ア）　ａ−２≦ｘ＜ａでは赤＋青が一定（ａ−２）だから，緑が最短のｘ＝ａ−２で最小値
　（ａ−２）＋（ａ−２−６）＝２ａ−１０をとる．
　イ）　ａ≦ｘ≦ａ＋２ではａよりも右で三重になっているから，ｘ＝ａのとき以上に長い
２ａ−１０＝１４よりａ＝・・・（答）
このとき，Ｍ(１２)はｘ＝１４で実現されるので，Ｍ(１２)＝・・・（答）

《解説つづき》
■　1次関数の絶対値は，符号が正になっても負になっても１次関数です．したがって，それらの和・差・定数倍は１次関数で，折れ線になります．このことに注意すれば，煩雑な場合分けをせずに節目（と両端の延長）を結んでいけばグラフを作ることができます．
■例10
　次の関数の最小値を求めなさい．
　ｙ＝４｜ｘ｜−３｜ｘ−１｜＋２｜ｘ−２｜−｜ｘ−３｜
 
 

（答案）
ｘ＝−１のとき，ｙ＝４−６＋６−４＝０
ｘ＝０のとき，ｙ＝−３＋４−３＝−２
ｘ＝１のとき，ｙ＝４＋２−２＝４
ｘ＝２のとき，ｙ＝８−３−１＝４
ｘ＝３のとき，ｙ＝１２−６＋２＝８
ｘ＝４のとき，ｙ＝１６−９＋４−１＝１０
以上により，右のグラフとなり，最小値は−２（ｘ＝０のとき）

《問題》
次のグラフとｘ軸との共有点の個数を調べなさい．
ｙ＝２（｜ｘ−１｜＋｜ｘ−２｜＋｜ｘ−３｜）−３（｜ｘ−４｜＋｜ｘ−５｜）

（答案）
(0,-15),(1,-15),(2,-11),(3,-3),(4,9),(5,15),(6,15)を結ぶ折れ線になるから，ｘ軸との共有点は個
 
 


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＜参考＞：目分量による合成の要点
 
■　ｙ＝ｘ＋１／ｘの略図を描くには

　ｙ＝ｘとｙ＝１／ｘのグラフを描いておき，
正負の符号を考えながら幾つかの点で足します．
（絶対値の大きい方を元にして，絶対値の小さい
方を加えるのがコツです．）
＝＝＞　　
■　ｙ＝ｘ２＋１／ｘも同様です．

ｘ＝−１においては，−１＋１＝０となります．
■　ｙ＝｜ｘ２−２ｘ｜＋ｘも同様です．

区間０≦ｘ≦２にある頂点の座標を正確に求めるには，
ｙ＝−ｘ２＋２ｘ＋ｘ＝−ｘ２＋３ｘを変形します．
■　も同様です．

ｘ＝−４のとき
　ｙ座標：−４＋０＝−４です．
　傾き：垂直＋何でも＝垂直です．
ｘ＝０のとき
　ｙ座標：４＋０＝４です．
　傾き：１＋０＝１です．
ｘ＝４のとき
　ｙ座標：４＋０＝４です．
　傾き：垂直＋何でも＝垂直です．
＝＝＞
■　足して２で割るときは中点を結びます．