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== 行列のn乗 ==

○高校数学の行列は旧教育課程の数学Cに含まれていたが,平成21年(2009年)告示の教育課程では数学Cはなくなっており数学Vなどの他の科目にも行列は含まれなかったため,高校では行列計算は原則として習わない.

○高校の教育課程からなくなったということは大学入試問題では忠実に反映されるので,行列そのものを出題することはないが,高卒向けや大卒向けの就職試験となるとこの制限はあいまいになる.

○この頁では「高校の旧教育課程にあった数学Cのレベル」で「2×2行列に限定して」行列のn乗を扱う.

*** 目次 ***(クリックすれば該当項目へジャンプ)



[1] 2乗,3乗,4乗,...などを求めて類推,証明する方法
○行列のn乗を求める問題は,単に行列の積を求める問題よりも格段に難しい.この小項目では,行列のn乗を求めるための一般的な方法を何も覚えずに2乗,3乗,4乗,...などからn乗を類推し,次にそれを数学的帰納法で証明するという2段階で解く方法を示す.
 この方法ですべての問題が解けるとは限らない(一般項が複雑で類推できない場合がある)が,初歩的で取り掛かりやすい.
【例題1.1】 次の行列のn乗を求めてください.
(解答)



そこで,
…(*)
と予想する.

次に,(*)を数学的帰納法により証明する.
(T) n=1のとき

だから(*)は成立する.
(U) n=kk≧1)のとき(*)が成立すると仮定すると

両辺に右から行列を掛けると

したがって,n=k+1のときも(*)が成立する.

(T)(U)よりすべての自然数nについて(*)が成立する.■証明終

【例題1.2】 次の行列のn乗を求めてください.
(解答)



そこで,「対角成分は対角でない成分より1大きい」「対角でない成分はan=1, 4, 13, 40, ...の数列になっている」と予想する.
1, 4, 13, 40, ...
3, 9, 27, ...
anの階差数列をbnとおくと,
bn=3n


そこで
…(*)
と予想する.

次に,(*)を数学的帰納法により証明する.
(T) n=1のとき

だから(*)は成立する.
(U) n=kk≧1)のとき(*)が成立すると仮定すると

両辺に右から行列を掛けると



したがって,n=k+1のときも(*)が成立する.

(T)(U)よりすべての自然数nについて(*)が成立する.■証明終
→右上に続く
【問題1.1】
(1) a0でない実数とし,とする.
を求めよ.
(2) 上の行列に対して,(1)の結果からを推定し,その推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ.
(山形大学[平成17年度]からの一部引用)
参考答案を見る
【問題1.2】

(1) とするとき,を求めよ.
(2) を推定し,その推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ.
参考答案を見る

[2] ケーリ・ハミルトンの定理と剰余の定理を組み合わす方法
○行列の割り算は定義されないが,和差,定数倍,積は定義される.
そこで,割り算の原理を積の形で表したもの

が成り立つとき,この関係は和差と定数倍および積しか含まれないから正方行列についても成立する.ただし,定数項に置き換える.


○2次の正方行列

については,ケーリ−・ハミルトンの定理が成り立つ.(ケ−リ−・ハミルトンの定理は高校数学の範囲内)

ただし
は対角成分の和
は行列式

○まず,多項式を2次式で割ったときの余りを求めておき,
…(1)
次に,同じ式を行列の式に直す.
…(2)
ただし,(2)において2次式の部分がケーリ−・ハミルトンの定理の左辺になるようにしておく.そうするとが何であっても0となって消えるところがミソ

【例題2.1】 次の行列のn乗を求めてください.
(解答)
ケーリ−・ハミルトンの定理により

が成り立つ.


…(1)
となるを求めておく.
を代入すると…(2)
を代入すると…(3)
(2)(3)より

このとき(1)式は

となるから


ケーリ−・ハミルトンの定理により

だから

右辺を計算すれば,が求まったことになる.



※(2)(3)においてを代入することはとしていることにはならないのか?→ならない
であるが
も成り立つ.
つまり,が成り立つのは元の行列だけとは限らないが,ここではとなるものなら何でもよい.

※ケーリ−・ハミルトンの定理

に対して

という2次方程式を固有方程式,その解α,βを固有値という.
この固有値を使えば,を消せる.
一般にケーリ−・ハミルトンの定理に対応する固有方程式

1) 異なる2つの解をα,βをもつとき(α,βは無理数でも虚数でもよい)

より
…(1)
…(2)
(1)(2)の連立方程式をについて解く
(2)−(1)

(1)に代入

したがって
…(A)

2) 重解αをもつとき
…(*)
この式でとなる値は1つだけ()なのでを求めるための連立方程式の式が足りない.微分を習った人は両辺を微分して
…(**)
の2つからを求めたらよい.

したがって
…(B)
※微分を習っていない場合は,2段階に分けて求めるとよい
(*)から


これを用いて(*)を書き換えると



…(**)

左辺をのままにしてを代入すると分母が0になってしまい計算できない.そこで左辺を次のように約分して分母が0になる原因を取り除いてから代入する.


一般に

は初項が,公比が,項数がの等比数列の和だから

※右辺を先に左辺を後で見ると楽

(**)にを代入すると2つ目の条件式が得られる.
(A)(B)はその場で作ればよく,こんなものまで覚え出したらきりがないと思う.
→右上に続く
【例題2.2】 次の行列のn乗を求めてください.
(解答)
ケーリ−・ハミルトンの定理により

が成り立つ.

…(*)
となるを求める.
(*)にを代入すると
…(1)
(1)の両辺を微分すると
…(**)
(**)にを代入すると
…(2)
この連立方程式を解くと

したがって


この恒等式を行列の恒等式に当てはめると

行列を満たすから




【問題2.1】

とする.このときであることを示し,に対してを求めよ.
(新潟大学[2000年度]からの一部引用)
参考答案を見る
【問題2.2】

のときを求めよ.
参考答案を見る

[3] 数列の連立漸化式にして解く方法

が与えられているとき,
となる成分を求める.
の関係式

からの漸化式ができるのでこれを解く.
【例題3.1】 次の行列のn乗を求めてください.
(解答)
とおく.

の成分を比較すると
…(1)
…(2)
…(3)
…(4)
※未知数が4個の連立方程式か?などと構える必要はない.(3)(4)は(1)(2)と同じ形だから(1)(2)を解けばよい
(初項だけ変えると(3)(4)も求まる)
求め方(*↓)はあるが,答案としては次の変形が突然「ひらめいた」ようなふりをして短く書いてもよい.(正しく変形されていることが分かれば,なぜ思いつくのかまで述べなくてもよい)
(1)+(2)

だから

…(5)
(1)+1/2×(2)


は公比3の等比数列になるから

…(6)
(5)(6)より

同様にして

ゆえに

求め方(*←)

となる定数を求める.
 この形になればが等比数列になって一般項が求められるからうれしいな〜♪と考える.求まらなければ他のことを考える

の係数を比較すると







…(*1)

…(*2)


(*1)のとき

(*2)のとき

※2つの異なる解があればこの方法で解ける.重解になるときは他に工夫がいる.
→右上に続く
【問題3.1】

のときを求めよ.
参考答案を見る
【問題3.2】

のときを求めよ.
参考答案を見る

[4] 行列の対角化を意識して解く方法

○行列の対角化は,行列の固有値,固有ベクトルを使うもので,大学の入試問題には行列のn乗を対角化を使って求めさせる問題が多い.ただし,行列の対角化それ自体は高校数学の範囲内にない(現在では行列自体もない)ので,入試問題として出題されるときは無理なく解けるように誘導問題になっている.
 ただし,話の筋書きを知っておくと,そもそも何をやっていてどこに連れていくのかが分かるので,方針を立てやすい.

○はじめに,対角行列は積の計算が簡単で,特に対角行列のn乗は各成分のn乗で求めることができることを思い出そう.


 この性質を行列のn乗を求める計算に利用することができる.

○ただし,次に述べる「行列の対角化」とは対角行列でない行列を対角行列に変形するということではないことに注意しよう.対角行列でないものが対角行列に変形できたら,当然のことながら,その変形は間違っている.

 行列の対角化とは,
行列が与えられたときに
対角行列
2016年のピコ太郎は
PPAP
行列の対角化は
PインバースAP

※言ってみただけ〜♪

と他にもう1つの行列を見つけて

のように「サンドイッチの形で表すこと」を言います.
 
と書いてもよい.
○与えられた行列に対して,うまく

と変形できれば,なぜうれいしのかというと

となり,真ん中のが単位行列になるので

ところが対角行列の積は成分の積になるので

は簡単に求められるので
対角行列と対角化行列により




または




に持ち込むところがミソ
同様にして

一般に

のように何乗でも簡単に計算できます.


から

と変形しても同じです.

大学入試では高校の教育課程の範囲内にないものは出せませんが,対角化行列と対角行列が与えられていて

が誘導問題として示されていれば高校数学の範囲内になります.
これに対して,固有値から対角行列を求め,固有ベクトルから対角化行列を自分で計算しなければならないのが大学での取り扱いです.

※(高卒向け)固有値,固有ベクトルをもとめて行列を対角化する方法はこの頁
【例題4.1】

とするとき であり,これを用いて行列を求めるとである.
(福岡大[平成17年度])
(解答)
の逆行列は

ここで,は行列の行列式を表す.







だから





→右上に続く
【例題4.2】
3つの行列を次のようにおく.


このとき次の問いに答えよ.
(1) の逆行列およびを求めよ.
(2) を求めよ.
(岩手大[2000年度]一部引用)
(解答)
の逆行列は

ここで,は行列の行列式を表す.
対角成分は入れ換える.対角でない成分は符号だけ変える.
(1)




(2)

に対して,左からを右からを掛けると




【問題4.1】

とするとき
(1) の逆行列およびを求めよ.
(2) を求めよ.
参考答案を見る
【問題4.2】

とするとき
(1) の逆行列およびを求めよ.
(2) を求めよ.
参考答案を見る
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