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【平面上の内分点,外分点の座標】
 2点を結ぶ線分
(1) に内分する点Pの座標は

 特に,中点(1:1に内分する点)Mの座標は

(2) に外分する点Qの座標は
(解説)
 以下の解説は,多くの教科書に書かれているものとほぼ同じです.
(1)←
以下においては,の場合の図をもとにして解説するが,結果はの場合も成り立つ.
中学2年生で習う平行線の性質,または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと,右図においてのとき,

したがって






 y座標についても同様に示すことができる.
 中点の公式はm=n=1とすると得られる.

(3)←
以下においては,かつの場合の図をもとにして解説するが,結果はの場合も成り立つ.
中学2年生で習う平行線の性質,または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと,右図においてのとき,

したがって






 y座標についても同様に示すことができる.
⇒このように,内分公式のnのところに−nを代入すると,外分公式になる

※よくある間違いに注意
 座標の値がの4個,比率の値がの2個,合計6個の値があるので,初心者ではこれらが「もつれて」間違ってしまう場合があります.次の3点に注意しましょう.
(1) x座標とy座標を「混ぜない」こと
(2) mとnは「クロスして掛ける」こと
(3) 外分公式では,「nだけを負にする」こと
(1) x座標とy座標を「混ぜない」こと
 を作ること,を作ること.
#1つの点の座標と座標を混ぜてしまう間違いが多い#
 〇:正しい計算
 ×:よくある間違い答案
 #自家受粉になっている#
【例1】
 2点を結ぶ線分に内分する点の座標は
間違い ⇒
正しい ⇒
(2) mとnは「クロスして掛ける」こと
 図の見かけ上は,Aの座標に近い方の比率がmで,Bの座標に近い方の比率がnであるが,公式としては


であるから,分母にあるm,nを分子に掛けるときは「クロスして掛ける」ことになります.
(見かけにダマされてはいけない「意地悪」「へそ曲げ」の公式となっています)
 証明は,上で行ったので,ここでは別の解釈を示してみます.

のように分けて見ると,2つの係数の和は1です.

 このとき,に掛けてある数字に掛けてある数字よりも大きければ,の影響を強く受け,に近い場所に来るはずです.
 例えば,のとき,

になっています.このとき,にはの9倍の数字が掛けてあって(加重平均),非常にに近い点になります.だから,Aからの距離の比mが大きいほどに近付くという事情が,公式に反映されています.
⇒大きい数字が掛けてある方の点に近くなる

(3) 外分公式では,「nだけを負にする」こと
 外分公式
…(*1)
のx座標,y座標のいずれも分母と分子の両方に−1を掛けても,分数には1を掛けることになって,元の式と同じ値になるから
…(*2)
と書いてもよい.さらに,分母が負の数になってしまうと,計算間違いしやすくなるので,これを防ぐために「mとnの符号は大きい方を正に,小さい方を負にする」…(*3)と教える先生もいます.
 (*1)(*2)(*3)とも正しく,実際,筆者も「どれでもよい」と教えてきましたが,教育心理的にはそれは「できる生徒向けの説明」かもしれません.同値な式を一巡聞いておくのはよいことですが,まとめとしては1つの公式を確実に身に着ける方がよいでしょう.苦手な生徒向けとしては,正しいからと言って,何を言ってもよいとは限らず,揺れのある表現で言われると,判断で迷って,形が混ざってしまうミスを誘発しやすいので,
外分公式では,「nだけを負にする」
と決める方が間違いが少なくなると考えられます.
 特に,(*1)(*2)を並べて教えると,「外分では,m,nを負にすればいいんだな」と単純化して覚える生徒が見られ,
…(*4)
にしてしまうことがあります.実際には,(*4)の分母分子に−1を掛けると分かるように,次の内分公式と同じものになります.[(*1)(*2)(*3)は外分公式,(*4)は内分公式]

⇒2つとも負にすると,元に戻ってしまう.

公式を確実に身に着けるための問題
【問題1】 次の各点の座標を求めてください.(選択肢の中から正しいものをクリック)
※暗算でやるのは無理ですから,別途計算用紙で計算してから答えてください.まぐれ当たりであっても実力はつきません.
(1)
 2点を結ぶ線分を2:1に内分する点の座標
(2)
 2点を結ぶ線分を1:2に内分する点の座標

(3)
 2点を結ぶ線分を3:2に内分する点の座標
(4)
 2点を結ぶ線分を1:2に外分する点の座標

(5)
 2点を結ぶ線分を2:3に外分する点の座標
(6)
 2点を結ぶ線分を1:3に外分する点の座標

(7)
 2点を結ぶ線分を2:5に内分する点の座標
(8)
 2点を結ぶ線分を3:2に外分する点の座標

ゆっくり考える問題(教科書レベル)
【問題2】 (選択肢の中から正しいものをクリック)
(1)
 点に関して点と対称な点の座標を求めてください.
[平行四辺形の2つの対角線は,互いに他を二等分することを使って,次の問題を解いてください]
(2)
 4点をこの順にたどると平行四辺形になるという.
 のとき,点の座標を求めてください.

(3) 少し難しいかも
の頂点について,の中点をの中点をに内分する点をとすると,を何対何に内分しますか.
(4) 少し難しいかも
とするとき,線分に内分する点をに外分する点をとおくと,点は線分を何対何に内分しますか.
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