【平面上の内分点,外分点の座標】
(解説)
2点を結ぶ線分を (1) に内分する点Pの座標は 特に,中点(1:1に内分する点)Mの座標は (2) に外分する点Qの座標は
以下の解説は,多くの教科書に書かれているものとほぼ同じです.
(1)←
以下においては,の場合の図をもとにして解説するが,結果はの場合も成り立つ.
中学2年生で習う平行線の性質,または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと,右図においてのとき,したがって y座標についても同様に示すことができる. 中点の公式はm=n=1とすると得られる. (2)←
以下においては,かつの場合の図をもとにして解説するが,結果はやの場合も成り立つ.
中学2年生で習う平行線の性質,または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと,右図においてのとき,したがって y座標についても同様に示すことができる. ⇒このように,内分公式のnのところに−nを代入すると,外分公式になる |
※よくある間違いに注意
座標の値がの4個,比率の値がの2個,合計6個の値があるので,初心者ではこれらが「もつれて」間違ってしまう場合があります.次の3点に注意しましょう.
(1) x座標とy座標を「混ぜない」こと
(2) mとnは「クロスして掛ける」こと (3) 外分公式では,「nだけを負にする」こと (1) x座標とy座標を「混ぜない」こと
とでを作ること,とでを作ること.#1つの点の座標と座標を混ぜてしまう間違いが多い# 〇:正しい計算↓ #自家受粉になっている#
【例1】
間違い ⇒ 2点を結ぶ線分をに内分する点の座標は 正しい ⇒ (2) mとnは「クロスして掛ける」こと
図の見かけ上は,Aの座標に近い方の比率がmで,Bの座標に近い方の比率がnであるが,公式としてはであるから,分母にあるm,nを分子に掛けるときは「クロスして掛ける」ことになります. (見かけにダマされてはいけない「意地悪」「へそ曲げ」の公式となっています) 証明は,上で行ったので,ここでは別の解釈を示してみます. のように分けて見ると,2つの係数の和は1です. このとき,に掛けてある数字がに掛けてある数字よりも大きければ,の影響を強く受け,に近い場所に来るはずです.
例えば,のとき,
になっています.このとき,にはの9倍の数字が掛けてあって(加重平均),非常にに近い点になります.だから,Aからの距離の比mが大きいほどに近付くという事情が,公式に反映されています. ⇒大きい数字が掛けてある方の点に近くなる (3) 外分公式では,「nだけを負にする」こと
外分公式…(*1) のx座標,y座標のいずれも分母と分子の両方に−1を掛けても,分数には1を掛けることになって,元の式と同じ値になるから …(*2) と書いてもよい.さらに,分母が負の数になってしまうと,計算間違いしやすくなるので,これを防ぐために「mとnの符号は大きい方を正に,小さい方を負にする」…(*3)と教える先生もいます. (*1)(*2)(*3)とも正しく,実際,筆者も「どれでもよい」と教えてきましたが,教育心理的にはそれは「できる生徒向けの説明」かもしれません.同値な式を一巡聞いておくのはよいことですが,まとめとしては1つの公式を確実に身に着ける方がよいでしょう.苦手な生徒向けとしては,正しいからと言って,何を言ってもよいとは限らず,揺れのある表現で言われると,判断で迷って,形が混ざってしまうミスを誘発しやすいので, 外分公式では,「nだけを負にする」 と決める方が間違いが少なくなると考えられます. 特に,(*1)(*2)を並べて教えると,「外分では,m,nを負にすればいいんだな」と単純化して覚える生徒が見られ, …(*4) にしてしまうことがあります.実際には,(*4)の分母分子に−1を掛けると分かるように,次の内分公式と同じものになります.[(*1)(*2)(*3)は外分公式,(*4)は内分公式] ⇒2つとも負にすると,元に戻ってしまう. |
公式を確実に身に着けるための問題
【問題1】 次の各点の座標を求めてください.(選択肢の中から正しいものをクリック)
※暗算でやるのは無理ですから,別途計算用紙で計算してから答えてください.まぐれ当たりであっても実力はつきません.
(1)
2点を結ぶ線分を2:1に内分する点の座標 |
(2)
2点を結ぶ線分を1:2に内分する点の座標 |
(3)
2点を結ぶ線分を3:2に内分する点の座標 |
(4)
2点を結ぶ線分を1:2に外分する点の座標 |
(5)
2点を結ぶ線分を2:3に外分する点の座標 |
(6)
2点を結ぶ線分を1:3に外分する点の座標 |
(7)
2点を結ぶ線分を2:5に内分する点の座標 |
(8)
2点を結ぶ線分を3:2に外分する点の座標 |
ゆっくり考える問題(教科書レベル)
【問題2】 (選択肢の中から正しいものをクリック)
(1)
点に関して点と対称な点の座標を求めてください.
[未知数を(x,y)とおいて,方程式で解く方法]
Aに関してBと対称な点がPであるとは,右図の茶色で示したように,点Aを対称の中心としてBとPが点対称であるということ. このためには,BPの中点がAになればよい. とおくと を解くと …(答) [未知数を使わずに,算数で解く方法]
Aに関してBと対称な点がPであるとは,右図の灰色で示したように,BAを2:1に外分する点がPであるということ …(答) |
[平行四辺形の2つの対角線は,互いに他を二等分することを使って,次の問題を解いてください]
(2) 4点をこの順にたどると平行四辺形になるという. のとき,点の座標を求めてください.
ACの中点とBDの中点が一致すればよい
とおくと より …(答) ※もし,3点A,B,Cの座標が与えられていて,「平行四辺形の第4の頂点を求めよ」という問題であれば,右図のように,回り方の順序が3通り考えられるので,(1)ACの中点がBDの中点と一致する場合,(2)BCの中点がADの中点と一致する場合,(1)ABの中点がCDの中点と一致する場合の3通りの答えを書かなければならない. |
(3) 少し難しいかも
の頂点について,の中点を,の中点を,をに内分する点をとすると,はを何対何に内分しますか. |
(4) 少し難しいかも
とするとき,線分をに内分する点を,に外分する点をとおくと,点は線分を何対何に内分しますか. |
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