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== 等比数列の和 ==
《解説》
○ 正の整数の和

や正の整数の2乗の和や3乗の和


の公式を使うときは,どちらかと言えば機械的に公式を適用すれば答が得られます.

○ しかし,等比数列の和を表しているΣ記号から結果を求めるには,上のような機械的な当てはめだけでは無理で,
初項a公比r項数nの3要素に分けて読み取り,「等比数列の和の公式」
…(*)
に代入するとできます.

○ 等比数列の和といっても,

のように,初項3公比2項数4が見ただけですぐ分かる形(an=a r n−1)になったものばかりとは限りません.


など,さまざまな形で書かれる等比数列の和を求めるには,
(1) 初項a公比r項数nの3要素を「分けて読み取る」

(2) 「上の公式(*)に代入する」
という操作に慣れなければなりません.


【例1】 次の和を求めてください.

(答案)
<等比数列の3要素を読み取る>
  • k=1を代入:a=a1=2
  • k123...
    ak248...
    2倍ずつになっているから公比r=2
  • 1からnだから項数n

に代入する.


=2(2n−1) …(答)
2n+1−2 と書いてもよい
(別解)

と変形して,初項a=2公比r=2項数nを読み取ってもよいが,この教材では数学が不得意な人を念頭に置いているので,このような器用な変形は薦めない.
特に,an=a r n−1n−1が嫌な形をしており,覚え
にくいと考えられる.


【例2】 次の和を求めてください.

(答案)
<等比数列の3要素を読み取る>
  • k=2を代入:a=3×43=192
    例えば,3×22は,62にはならない.
    このような「掛け算」と「累乗」がある式では,必ず累乗の計算を優先的に行い,できあがった結果に掛け算を行うので
    3×4=12になります.
    同様にして,3×42=122=144×
    3×42=3×16=48
    同様にして,3×43=123=1728×
    3×43=3×64=192
  • k234...
    ak1927683072...
    4倍ずつになっているから公比r=4
  • 2からnだから(1からnでn個.これよりも1つ少ない)項数n−1

に代入する.


==64(4n−1−1) …(答)


【例3】 次の和を求めてください.

(答案)
<等比数列の3要素を読み取る>
  • k=0を代入:a=3−1=
    数列では,k=1, 2, 3, ..を使った
    a1 , a2 , a3 , ...が最もよく使われますが,
    k=0, 1, 2, 3, ..を使った
    a0 , a1 , a2 , a3 , ...も使います.この場合は,a0が初項になります.
  • k012...
    ak13...
    3倍ずつになっているから公比r=3
  • 0からnだから(1からnでn個.これよりも1つ多い)項数n+1
    3k−1の形から,項数n−1などと考えてはいけない.
    項数は,一般項の式とは関係なく決まり,kの値の幾らから幾らまで使うかだけで決まる.(Σ記号の「下に書かれた数字」から「上に書かれた数字」まで何個あるのかということ)

に代入する.


= …(答)


《問題》
○左辺に等しいものを右辺から見つけなさい.
○左辺から1つ選び,続けて右辺から1つ選びなさい.合っていれば消えます.間違えば消えません.
○間違った場合は,下にHELPボタンが出ます.HELPを読む場合でも読まない場合でも,新たに問題を選択すれば解答を再開できます.








































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■[個別の頁からの質問に対する回答][等比数列の和について/17.6.14]
素晴らしい よく理解できた 練習問題のなんいとまをもう少しあげてもいいと思う
=>[作者]:連絡ありがとう.さらに進んだものはこの頁など