等差・等比型

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== 等差と等比の積になっている数列 ==

【要点】
・中間項が消えれば和が求まります。
・中間項が等比数列などになっても和が求まります。

○等比数列の和
等比数列の和は，次のようにして求めました。

(1)　求める和をＳとおく。
(2)　公比ｒをかけてｒＳを作る。
(3)　Ｓ－ｒＳを求めると，中間項が消えて，Ｓが求まる。

S(1−r)=a-arn となるから

○等差数列と等比数列の積になっている数列の和

「等差数列と等比数列の積になっている数列」とは，例えば次のようなものをいいます．
【例１】
初項１，交差１の等差数列an=nと初項１，公比２の等比数列bn=2n−1の積
anbn=n×2n−1
初めの幾つかを書くと
1, 2×21, 3×22,..., r×2r−1,..., n×2n−1
【例２】
初項3，交差2の等差数列an=2n+1と初項3，公比3の等比数列bn=3nの積
anbn=(2n+1)3n
初めの幾つかを書くと
3×31, 5×32, 7×33,..., (2r+1)3r,..., (2n+1)3n

　等比数列の場合，S-rS により「中間項が消えるので」和が求まります．
　等差×等比型の場合，結果を覚える形にすることはできませんが，上で示した方法を真似すると「中間項が消えなくても」「中間項の和が求まるので」全体の和が求まります。
この場合は，「中間項が等比数列」となり，和が求まることになります。

【要点】
S−rSを作る
○Sが等比数列の和ならば
⇒　「中間項が消えて」和が求まる．
○Sが等差数列×等比数列の和ならば
⇒　「中間項が等比数列になって」和が求まる．

【例1】　次の和を求めなさい。ただし，r≠1とする。 1+2r+3r²+4r³+5r⁴+・・・+nrⁿ⁻¹

（答案）
S=1+2r+3r²+4r³+5r⁴+・・・+nrⁿ⁻¹とおく
−)rS=r+2r²+3r³+4r⁴+・・・+(n-1)rⁿ⁻¹+nrⁿ

S−rS=(r⁰+r¹+r²+r³+r⁴+・・・+rⁿ⁻¹)−nrⁿ

()内は等比数列の和になるので公式で和が求まります。
()内は初項１，公比等比r，項数n（r¹からrⁿ⁻¹まででｎ−1項，これに1=r⁰の項を付け加えるとｎ項）の等差数列の和数列の和だから
$\frac{1(r^n-1)}{r-1}$

結局，求めるものは
$(1-r)S=\frac{1(r^n-1)}{r-1}-nr^n=\frac{1-r^n}{1-r}-nr^n$
$S=\frac{1-r^n}{(1-r)^2}-\frac{nr^n}{1-r}=\frac{r^n(nr-n-1)}{(1-r)^2}+ \frac{1}{(1-r)^2}$ …（答）
（※最終形はどちらでもよい）

（ビックリ答案から学ぼう）
※次の数列は等比数列ではありません： S=1+2r+3r²+4r³+5r⁴+・・・+nrⁿ⁻¹
今までに出会った間違い答案で，「どうしても合わない」という人は，この数列は公比 $\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{nr^{n-1}}{(n-1)r^{n-2}}=\frac{rn}{n-1}$
とした例がありました。公比は”公”なのでｎによらない共通な定数でなければなりませんが，この数列には公比はありません！

どうしても納得しない方は，
1，3，5，7，… ，(2n−3)，(2n−1)
という数列［公差2の等差数列］の公比が
$r=\frac{2n-1}{2n-3}$
とは言えないことを思い出しましょう．

（参考）
wxMaxima（←インストール方法など）を使って，検算する方法
メニューから：微積分→数列の総和→

［関数］k*r^(k-1)
［変数］k
［下端］1
［上端］n
［数式で出力］にチェックを入れる

これにより，次の形で出力されます．
$\frac{r^n(nr-n-1)}{(1-r)^2}+ \frac{1}{(1-r)^2}$

【例2】　次の和を求めなさい。ただし，x≠1とする。 $\sum_{k=1}^n (k+ 1)x^k$

（答案）
S=2x+3x²+4x³+5x⁴+・・・+(n+1)xⁿとおく
−)xS=2x²+3x³+4x⁴+・・・+nxⁿ+(n+1)xⁿ⁺¹

S−xS=2x+(x²+x³+x⁴+・・・+xⁿ)−(n+1)xⁿ⁺¹

()内は等比数列の和になるので公式で和が求まります。
()内は初項x²，公比等比x，項数n−1の等差数列の和数列の和だから
$\frac{x^2(x^{n-1}-1)}{x-1}=\frac{x^2(1-x^{n-1})}{1-x}$

結局，求めるものは
$(1-x)S=2x+ \frac{x^2(1-x^{n-1})}{1-x}-(n+ 1)x^{n+ 1}$
$S=\frac{x^2(1-x^{n-1})}{(1-x)^2} + \frac{2x-(n+ 1)x^{n+ 1}}{1-x}$
$=\frac{x^{n+ 1}((n+ 1)x-n-2)+ 2x-x^2}{(1-x)^2}$ …（答）
（※最終形はどちらでもよい）

（参考）
wxMaximaを使って，検算する方法
メニューから：微積分→数列の総和→

［関数］(k+1)*x^k
［変数］k
［下端］1
［上端］n
［数式で出力］にチェックを入れる

これにより，次の形で出力されます．
$\frac{x^{n+ 1}(nx+ x-n-2)}{(x-1)^2}- \frac{(x-2)x}{(x-1)^2}$

■問題

１　次の和を求めなさい。ただし，ｘ≠1とする。 1+3x+5x²+7x³+・・・+(2n-1)x^n-1

(答案)

(正しいものを選びなさい。)

［ア］	(2n-1)x^n-1， (2n-3)x^n-1， 2nx^n-1， (2n+1)x^n-1
［イ］	1， x ，2x
［ウ］	x，2x，2x²
［エ］	n-1，n，n+1

■問題

２　次の和を求めなさい。

(答案)

(正しいものを選びなさい。)

［ア］	n3^n-1， 3ⁿ， (n-1)3ⁿ， n3ⁿ
［イ］	1， 3 ，3²
［ウ］	x，3，3²
［エ］	n-1，n，n+1

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