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== 等差と等比の積になっている数列 ==

【要点】
・中間項が消えれば和が求まります。
・中間項が等比数列などになっても和が求まります。

○等比数列の和
等比数列の和は,次のようにして求めました。

(1) 求める和をSとおく。
(2) 公比rをかけてrSを作る。
(3) S−rSを求めると,中間項が消えて,Sが求まる。


S(1−r)=a-arn となるから

○等差数列と等比数列の積になっている数列の和
「等差数列と等比数列の積になっている数列」とは,例えば次のようなものをいいます.
【例1】
初項1,交差1の等差数列an=nと初項1,公比2の等比数列bn=2n−1の積
anbn=n×2n−1
初めの幾つかを書くと
1, 2×21, 3×22,..., r×2r−1,..., n×2n−1
【例2】
初項3,交差2の等差数列an=2n+1と初項3,公比3の等比数列bn=3nの積
anbn=(2n+1)3n
初めの幾つかを書くと
3×31, 5×32, 7×33,..., (2r+1)3r,..., (2n+1)3n

 等比数列の場合,S-rS により「中間項が消えるので」和が求まります.
 等差×等比型の場合,結果を覚える形にすることはできませんが,上で示した方法を真似すると 「中間項が消えなくても」「中間項の和が求まるので」全体の和が求まります。
この場合は,「中間項が等比数列」となり,和が求まることになります。
【要点】
S−rSを作る
Sが等比数列の和ならば
 「中間項が消えて」和が求まる.
Sが等差数列×等比数列の和ならば
 「中間項が等比数列になって」和が求まる.


【例1】 次の和を求めなさい。ただし,r≠1とする。
1+2r+3r2+4r3+5r4+・・・+nrn−1
答案
S=1+2r+3r2+4r3+5r4+・・・+nrn−1とおく
−)rS=r+2r2+3r3+4r4+・・・+(n-1)rn−1+nrn
S−rS=(r0+r1+r2+r3+r4+・・・+rn−1)−nrn

()内は等比数列の和になるので公式で和が求まります。
()内は初項1,公比等比r,項数nr1からrn−1まででn−1項,これに1=r0の項を付け加えるとn項)の等差数列の和数列の和だから


結局,求めるものは

…(答)
(※最終形はどちらでもよい)

(ビックリ答案から学ぼう)
次の数列は等比数列ではありません: S=1+2r+3r2+4r3+5r4+・・・+nrn−1
今までに出会った間違い答案で,「どうしても合わない」という人は,この数列は公比
とした例がありました。公比は”公”なのでnによらない共通な定数でなければなりませんが,この数列には公比はありません!

どうしても納得しない方は,
1,3,5,7,… ,(2n−3),(2n−1)
という数列[公差2の等差数列]公比が

とは言えない
ことを思い出しましょう.

(参考)
wxMaxima(←インストール方法など)を使って,検算する方法
メニューから:微積分→数列の総和→
[関数]k*r^(k-1)
[変数]k
[下端]1
[上端]n
[数式で出力]にチェックを入れる
これにより,次の形で出力されます.

【例2】 次の和を求めなさい。ただし,x≠1とする。
答案
S=2x+3x2+4x3+5x4+・・・+(n+1)xnとおく
−)xS=2x2+3x3+4x4+・・・+nxn+(n+1)xn+1
S−xS=2x+(x2+x3+x4+・・・+xn)−(n+1)xn+1

()内は等比数列の和になるので公式で和が求まります。
()内は初項x2,公比等比x,項数n−1の等差数列の和数列の和だから


結局,求めるものは


…(答)
(※最終形はどちらでもよい)

(参考)
wxMaximaを使って,検算する方法
メニューから:微積分→数列の総和→
[関数](k+1)*x^k
[変数]k
[下端]1
[上端]n
[数式で出力]にチェックを入れる
これにより,次の形で出力されます.


■問題
1 次の和を求めなさい。ただし,x≠1とする。
1+3x+5x2+7x3+・・・+(2n-1)xn-1
(答案)
(正しいものを選びなさい。)
 
[ア] (2n-1)xn-1, (2n-3)xn-12nxn-1, (2n+1)xn-1
[イ] 1x2x
[ウ] x2x2x2
[エ] n-1nn+1
 

■問題
2 次の和を求めなさい。
(答案)
(正しいものを選びなさい。)
 
[ア] n3n-13n(n-1)3nn3n
[イ] 1332
[ウ] x332
[エ] n-1nn+1


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