■　等差×等比型

■要点■
・中間項が消えれば和が求まります。
・中間項が等比数列などになっても和が求まります。

［復習］等比数列の和
等比数列の和は，次のようにして求めました。

(1)求める和をＳとおく。
(2)公比ｒをかけてｒＳを作る。
(3)Ｓ−ｒＳを求めると，中間項が消えて，Ｓが求まる。

右の計算でＳ(1-r)=a-arn より

・・公式
※等比数列の和の公式の復習：
.
［解説］等差×等比型
　等比数列の場合，S-rS により「中間項が消えるので」和が求まりますが，「中間項が消えなくても」「中間項の和が求まれば」全体の和が求まります。
　例えば，各項が等差数列×等比数列等の形をしているとき，「中間項が等比数列」となり，和が求まることになります。

例　次の和を求めなさい。ただし，r≠1とする。

1+2ｒ+3ｒ2+4ｒ3+5ｒ4+・・・nｒn-1
答案
 S=1+2ｒ+3ｒ2+4ｒ3+5ｒ4+・・・nｒn-1　     とおく
rS=   ｒ+2ｒ2+3ｒ3+4ｒ4+・・・(n-1)ｒn-1+nｒn
 ---------------------------------
S-rS=1+ｒ+ｒ2+ｒ3+ｒ4+・・・+ｒn-1- nｒn
S(1-r)=(1+ｒ+ｒ2+ｒ3+ｒ4+・・・+ｒn-1)  - nｒn
 ( 　)内は等比数列になる！ので和が求まります。

 
 

※次の数列は等比数列ではありません：

　1+2ｒ+3ｒ2+4ｒ3+5ｒ4+・・・nｒn-1
今までに出会った「ビックリ答案」としてこの数列の公比を
an/an-1　=　nｒ/(n-1)
　とした例がありました。公比は”公”なのでｎによらない共通な定数でなければなりませんので，この数列には公比はありません！
　どうしても迷いのある方は，1，3，5，7，・・，(2n-3)，(2n-1) という数列［公差2の等差数列］の公比が(2n-1)/(2n-3)とは言えないことを思い出しましょう。
■問題
１　次の和を求めなさい。ただし，ｘ≠1とする。
1+3x+5x2+7x3+・・・+(2n-1)xn-1
(答案)
(正しいものを選びなさい。)
 
［ア］ (2n-1)xn-1， (2n-3)xn-1， 2nxn-1， (2n+1)xn-1
［イ］ 1， x ，2x
［ウ］ x，2x，2x2
［エ］ n-1，n，n+1
　
■問題
２　次の和を求めなさい。
(答案)
(正しいものを選びなさい。)
 
［ア］ n3n-1， 3n， (n-1)3n， n3n
［イ］ 1， 3 ，32
［ウ］ x，3，32
［エ］ n-1，n，n+1
　
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