■行列の対角化とは

○　行列の対角化とは
　対角行列はべき乗（累乗）計算が簡単にできるなど便利な性質があり，対角行列になおすことができればメリットが大きい．
　与えられた正方行列Aに対して，
P−1AP=
となるような行列Pを見つけてP−1APが対角行列になるようにすることを対角化という．
（参考）
(1)　対角行列の積を求めるには対角成分を掛けるだけでよい．
=
(2)　対角行列のｎ乗を求めるには各対角成分をｎ乗すればよい．
n=

※　「対角化せよ」という問題に対しては，
P−1AP=
の形で答えるとよい．
　この式に左からPを，右からP−1を掛けた式，
A=PP−1
は同じ内容を表している． 		※注１　ｍ×ｎ行列とｊ×ｋ行列の積はｎ＝ｊの場合のみ定義される．
したがって，行列のべき乗（累乗）が定義されるのは正方行列に限る．
：あり　，：なし


※注２　対角行列でない行列Aを対角行列にすることはできない．対角化とは，P−1APを対角行列にすることをいう．
○　P−1APの形の式の特徴

・　P−1AP=のとき
　左辺のｎ乗については，
(P−1AP)n=P−1AnPが成り立つ．
　右辺のｎ乗については
n=が成り立つ．
したがって，
P−1AnP=
両辺に左からPを，右からP−1を掛けると
An=PP−1
が求まる．
※　対角行列をDで表すとき，次のように変形してもよい．
P−1AP=D ⇒ A=PDP−1
のとき
An=( PDP−1 )n=PDnP−1=PP−1
※　行列の積について
(1)　交換法則は成立しない．
一般にはAB≠BA
　このため，行列の積について文字の順序を入れ替えることはできない．
(2)　結合法則は成立する．
つねに(AB)C=A(BC)
　このため，どの掛け算を先に行うかは自由に変えられる．また，ABCと書くとき，どちらの意味に解釈されても結果は等しくなるので，(AB)CやA(BC)を単にABCと書くことができる．

　ある行列Pとその逆行列P−1との積は単位行列になる
P−1P=PP−1=E
が，交換法則が成り立たないから
P−1AP=?=P−1PA=A
などと変形することはできない．（間にAがあるから勝手に順序を入れ替えてP−1Pを作ることはできない．）
　結合法則を利用するとP−1APの形の式のｎ乗は，次のように簡単になる．
○　２乗のとき

(P−1AP)(P−1AP)=P−1A(PP−1)AP=P−1AEAP=P−1AAP
だから
(P−1AP)2=P−1A2P
が成り立つ．

○　３乗以上のときも

(P−1AP)(P−1AP)···(P−1AP)
=P−1APP−1AP···P−1AP
において隣り合うPP−1を先に計算してEにしておくと，掛け算ではすべて無視できて
(P−1AP)n=P−1AnP
となることが分かる．
○　対角化と累乗計算の例
　与えられた正方行列Aに対して，
P−1AP=D　（Dは対角行列）
となるような行列Pを見つける方法については，次の頁で扱う．ここでは，行列Pが見つかったときの累乗計算を示す．
例1
A=
のとき，
P=
とおくと，
P−1=
P−1AP=
となるから
P−1AnP=
よって
An=
= 		例2
A=
のとき，
P=
とおくと，
P−1=
P−1AP=
となるから
P−1AnP=
よって
An=

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