■対数計算1（例題→選択問題）


　y=ax を a を底とする指数関数という．
例1　y=2x は 2 を底とする指数関数と呼ばれる．
　　（これは２次関数 y=x2 とは全く別のものである．）

○ y=2x において，与えられた y の値に対応する x の値を表わすために，log2y という記号を導入し， 2 を底とする対数という．
　log2y において，y を真数という．

　[ 対数の定義 ]　（ a を底とする対数 loga y の定義 ）
y=ax ⇔ x=loga y

◎［重要］
　この定義により，ある対数が何を表わしているかは，指数の形に直してみれば分かる．

※　高校では真数は「正の数」だけとする．
y=ax ( y>0 ) だから x=loga y ( y>0 )
例2　8=23 ⇔ 3=log28
　左辺の式と右辺の式は，どちらに書いてもよい．
（ 8=23 ⇔ log28=3 ）
例3　52=25 ⇔ log525=2
例4　3=log101000 は 103=1000 となることを表わしている．
　《要点》
外=底中 ⇔ 外=log底中
　指数→対数，対数→指数のどちら向きに変形するときも
底は底，外は中，中は外
例題　次の式を指数の形で表せ．4=log216
解答　24=16
※ 42=16 と答えると，式自体は正しくても，この対数を指数の形に直したものになっていないことに注意．

※ 同様にして 8=2 を対数の形に直せば
log82= は○　， log28=3 は×
 問題1　次の式を指数の形で表せ．（正しいものを選べ．以下同様）
(1)　log10100=2
⇒　210=100　，　2100=10　，　102=100　，　10100=2
(2)　5=log232
⇒　25=32， 232=5， 52=32， 532=2， 322=5， 325=2


問題2　次の式を対数の形で表せ．
(1)　34=81
⇒　log34=81　，　log381=4　，　log43=81　，　log481=3
(2)　0.1−3=1000
⇒　1000=log−30.1　，　−3=log10000.1，

−3=log0.11000　，　3=log101000
.
　[ 特別な真数 1 , a ]
　a>0 , a≠1 となるどんな a についても
______a0=1 だから loga1=0 が成立する．
______a1=a だから logaa=1 が成立する．

※前半は「真数が1のときは，底が何であっても対数の値は0になる」ということ．
後半は，「底と真数が同じならば，底が何であっても対数の値は1になる」ということ．
例1　log21=0 , log22=1
例2　log31=0 , log33=1
例3　log101=0 , log1010=1 		問題3　次の値を求めよ．
(1)　log33
⇒　0　，　1　，　3　，　−1
(2)　log51
⇒　0　，　1　，　5　，　−1
.
　[ 対数の和→真数は積 ]
　a>0 , a≠1 , M,N>0 のとき
______logaM+logaN=logaMN が成立する．
______例1　log54+log53=log5(4×3)=log512
______例2　log62+log63=log6(2×3)=log66=1　（※ logaa=1）
（解説）
　指数で表わされた数の積については，次の関係が成り立つ．
axay=ax+y
この関係を対数の形で表わぜば上記の性質が証明できる．
すなわち，______ax=M , ay=N とおくと x=logaM , y=logaN
axay=ax+y→MN=ax+y
　　↓
logaM+logaN=logaMN←x+y=logaMN

※　注意
足し算がかけ算に等しいということではない．
　　logaM+logaN　←＃等しくない＃→　logaM · logaN

「２つの対数の和」は「真数の積の対数」に等しいということ
　　logaM+logaN　←○等しい○→　logaMN
問題4　次の式の値に等しいものを選べ．
(1)　log102+log103
⇒　1　，　log105　，　log106　，　log102·log103
(2)　log123+log124
⇒　0　，　1　，　log127　，　log123·log124
.
　[ 対数の差→真数は商 ]
　a>0 , a≠1 , M,N>0 のとき
______logaM−logaN=loga が成立する．

______例1　log618−log69=log6=log62

______例2　log612−log62=log6=log66=1　（※ logaa=1）
（解説）
　指数で表わされた数の商については，次の関係が成り立つ．
=ax−y

この関係を対数の形で表わぜば上記の性質が証明できる．
すなわち，______ax=M , ay=N とおくと x=logaM , y=logaN

=ax−y→=ax−y
　　↓
logaM−logaN=loga←x−y=loga
※　注意
引き算が割り算に等しいということではない．

　　logaM−logaN　←＃等しくない＃→　

「２つの対数の差」は「真数の商の対数」に等しいということ
　　logaM−logaN　←○等しい○→　loga
問題5　次の式の値に等しいものを選べ．
(1)　log310−log32
⇒　log35， log38， log312， log320，
(2)　log26−log23
⇒　0　，　1　，　log23　，　log23 · log124
.
　[ 真数のｎ乗→対数のｎ倍 ]
　a>0 , a≠1 , M>0 のとき　（n は任意の実数）
______logaMn = n logaM が成立する．

※ logaMn は loga(Mn) を表わす．(logaM)n を表わすときは必ず「かっこ」を付ける．

______例1　log10(23) = 3log102

______例2　log381=log334 = 4log33=4　（※ logaa=1）

分数→負の指数，累乗根→分数の指数についても成り立つ．
______例3　log3 =log33−2 = −2log33=−2　（※ logaa=1）

　　引き算の方が得意な人は次のように変形してもよい．
______　log3 =log31 − log39 = 0−2=−2　（※ loga1=0）

______例4　log3 =log33 = log33= 　（※ logaa=1）
（解説）
　指数の計算において，(ax)n=ax n が成り立つ．
この関係を対数の形で表わぜば上記の性質が証明できる．
すなわち，______ax=M とおくと
ax=M→x=logaM
↓　
ax n=Mn→logaMn=x n=n logaM
問題6　次の式の値に等しいものを選べ．
(1)　log281
⇒　3log24， 4log23， 2log34， 4log32， 2log43， 3log42

(2)　log4
⇒　−2， −1， 0， 1， 2

(3)　log3
⇒　− 3， − ， − ， ， ， 3
.
　[ 係数があるとき ]
　a>0 , a≠1 , M>0 のとき　（n は任意の実数）
______n logaM = logaMn

を利用して真数に吸収するとよい．

______例1　3log102= log10(23) = log108

次のような分数も「分数の指数」（=その意味は累乗根）に直せる．

______例2　 = log49= log4(9) = log43


______例3　2log36 − = log362 − log464

______= log336 − log364 = log336 − log34

______= log3 = log39 = 2
 問題7　次の式の値に等しいものを選べ．
(1)　2log43
⇒　log45， log46， log48， log49，

(2)　
⇒　−log103， −log1036， −log10，

log103， log1036， log10

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