※※(このページの前半は、2×2行列について述べます.下端でn×n行列の場合を扱います.)
■逆行列とは携帯版
■数の積における単位元と逆元

任意の数 a について ax=xa=a となる数 x単位元といい 1 で表します。

・任意のa について a·1=1·a=a が成り立ちます。
各々の a について ay=ya=1 となる数 y を,a逆元といい, a-1 で表します。
a0 のとき,a の逆元 a-1が存在し, 
a·a-1=a-1·a=1 が成り立ちます。
a=0 のとき,逆元は存在しません。
■行列の積における単位元(単位行列)と逆元(逆行列)

任意の行列 A について AX=XA=A となる行列 X単位行列といい E で表します。

・任意の行列 A について AE=EA=A が成り立ちます。
各々の行列 A について AY=YA=E となる行列 YA逆行列といい,A-1で表します。
Δ=ad - bc で定義される行列式Δの値が,Δ≠0 となるとき A の逆行列が存在し、
A A-1=A-1A=E が成り立ちます。
Δ=ad - bc=0 のとき,A の逆行列は存在しません。
※ 数の演算と異なり,行列について四則演算が広く定義されている訳ではないことに注意.行列 A について,和,差,実数倍,積は定義されているが,商は定義されていない.
 したがって,A- 1 は,逆行列を表わす特別な記号として使い, という記号が使える訳ではない.また,A2 , A3 , ... などは定義されているが,A- 2 , A- 3 , ... などは定義されていない.逆行列の記号 - 1 は,逆行列専用の「逆の」という記号として使う.
■小実験---次の計算1を参考にして,2.3.で逆行列の求め方を予想しなさい。
OK

調整する

OK
調整する
OK
[逆行列の公式]
A=の逆行列は,
  • Δ=ad - bc0 のとき A-1=
  • Δ=ad - bc=0 のとき,A-1は存在しません。
※ 証明は,どの教科書にも書かれています:
となるx,y,z,wを成分についての連立方程式から求めます。

分母はΔ

■問題--次の各問題に正しく対応するものを,右の選択肢から選びなさい。(初めに問題を選び,続いて選択肢を選びなさい。正しく対応しているときは消えます。)
問題

選択肢

 ■問題--「逆行列が存在しない←→Δ=0」です。次の行列が逆行列を持たないようにxの値を定めなさい。
x=
x=(ただし,小さいものから順に書くものとします。)
x=

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■参考■) Excel を用いた逆行列の計算

○ n×n行列については逆行列の有無を考えることができます.正方行列でなければ逆行列を考える余地はありません.

○ 一般にn×n行列 A に,右から掛けても左から掛けてもn次の単位行列となるn×n行列 BA の逆行列といい,A- 1 で表わす.( AB=En ならば BA=En が成り立つので,右のように AB=En が成り立てばBA の逆行列といえる.)
○ Excel には逆行列を求める関数 =MINVERSE() が用意されている.この関数を用いて逆行列を求める方法を解説する.
 (=MINVERSE()で求めた1つの式を配列に直すときに,注意すべき点が一つだけある.これさえできれば何でもない.)

  一般に,「行列式の値が0でない」「正方行列」に対しては逆行列が存在する.(以下の操作はExcel2003,2007に共通.結果は通常,小数で表示されるが,分かりやすいように逆行列の各成分が整数となる問題を選んだ.)

  A B C D E F
1 3 2 1      
2 1 3 1      
3 2 2 1      
例1 右のような行列(A1:C3)の逆行列を D1:F3 に書き込むには
 (1) セル D1 をポイントしておく.
 (2) 画面上の方にある数式バーにある fx というところをクリックすると「関数の挿入」になる.
 (3) [関数の分類]は「すべて表示」にし,MINVERSE を選択する.OK
 (4) 配列という表示の空欄の右にあるをクリックする.
 (5) A1からC3までドラッグし,Enterキーを押す→OK

  !! ここからが重要 !! 以上の操作だけではD1に1つの値が書き込まれるだけで,行列になっていない.(この値をドラッグしてもダメ
  D1からF3に配列(行列)として値を書き込むには:

 (6) D1からF3を選択して反転表示にする.
 (7) 数式バー(先ほどのfx の右にある空欄)に数式=MINVERSE(A1:C3)が既に書き込まれているので,その欄のどこかをマウスでポイントする.
 (8) Ctrl+Shift+Enter(CtrlキーとShiftキーを押しながらEnterキーを押す.)

○ 以上で,D1:F3に上のA1:C3の逆行列が書き込まれる.
検算:行列の積を求めるには
 逆行列が正しく求められているかどうか検算するには,2つの正方行列A1:C3とD1:F3の積が単位行列Eになっているかどうかを調べればよい.これらの行列の積をG1:I3に書き込むには,
 (1) G1をポイントしておき,画面上の方にある数式バーにある fx というところをクリックすると「関数の挿入」になる.
 (2) [関数の分類]は「すべて表示」にし,MMULT を選択する.OK
 (3) 配列1という表示の空欄の右にあるをクリックする.
 (4) A1からC3までドラッグし,Enterキーを押す→OK
 (5) 配列2という表示の空欄の右にあるをクリックする.
 (6) D1からF3までドラッグし,Enterキーを押す→OK

上と同様,1つのセルの値だけが得られるので,これを配列(行列)にするには
 (7) G1からI3を選択して反転表示にする.
 (8) 数式バー(先ほどのfx の右にある空欄)に数式=MMULT(A1:C3,D1:F3)が既に書き込まれているので,その欄のどこかをマウスでポイントする.
 (8) Ctrl+Shift+Enter(CtrlキーとShiftキーを押しながらEnterキーを押す.)

○ 以上で,G1:I3に上の行列(A1:C3)と行列(D1:F3)の積が書き込まれる.これが単位行列になっていればよい.

※ コンピュータによる小数計算は近似値で行われるので,数学の教科書で習うようなきれいな表示にはならない:例えば,1÷3×3=0.99999··· となるが,これは1を表わす.上の検算において,通常は整数とはならないので,対角成分が,0.99999··· (←1に十分近い数),対角でない成分が 1.01E-13=1.01×10-13 (←0に十分近い数)などとなるときは,単位行列を表わしていることがある.
■例題1
 次の各行列について逆行列を求めよ.
(1)
3 2 1
1 3 1
2 2 1
(答)
1 0 -1
1 1 -2
-4 -2 7
(2)
1 2 2
1 1 5
1 2 1
(答)
-9 2 8
4 -1 -3
1 0 -1
(3)
1 0 1 2
-1 1 1 1
1 -1 0 1
1 1 -1 -2
(答)
1 -1 -1 0
-1 2 2 1
4 -5 -7 -2
-2 3 4 1
(4)
2 1 1 1 1
0 1 1 -1 0
1 0 1 2 0
1 1 -1 1 2
1 1 1 2 1
(答)
0 1 2 1 -2
-3 5 7 4 -5
2 -3 -5 -3 4
-1 1 2 1 -1
3 -5 -8 -4 6
■成分が分数になるとき
 行列の成分のうち幾つかが分数になるとき,Excelの標準設定のまま小数表示(または指数表示)にしておくと,どのような分数を表わしているのかよく分からない.
 このとき,表示形式として「分数」を選ぶと,分母が3桁までの分数なら対応できる.

[手順] 逆行列や行列の積をあらかじめ求めておく. → 分数表示にしたいセルをドラッグして反転表示にする
 → 書式 → セル → (表示形式)分類:分数,種類:3桁増加 → OK
注意
(1) 分母が1桁,2桁,3桁のときは「3桁増加」で対応できるが分母が4桁以上のものはうまく表示できない(ようだ).
          3/7210 → 0
(2) 仮分数(分子が分母以上の分数)は帯分数で表示される.負の仮分数は整数部分にだけマイナスが付く.
          4/3 → 1 1/3 (1+1/3 のこと), -4/3 → -1 1/3 ( -(1+1/3) のこと)
(3) 分数表示にした行列からも普通に和差積を求めることができる.

※ 分母が4桁以上の整数であるときでも、その分母は行列式|A|の値になっているので、各成分に行列式の値 =MDETERM(範囲)を掛ければ値は分かる。(このとき当然のことながら、元の逆行列の成分は=MDETERM(範囲)を分母とする分数考える。[約分できることもある])
■例題2
 次の各行列について逆行列を求めよ.
(1)
1 2 3
4 5 6
7 8 1
(答)
-1 19/24 11/12 - 1/8
1 7/12 - 5/6 1/4
- 1/8 1/4 - 1/8
(2)
1 0 1
2 1 0
3 1 4
(答)
1 1/3 1/3 - 1/3
-2 2/3 1/3 2/3
- 1/3 - 1/3 1/3
(3)
2 1 0 1
0 2 2 1
1 2 2 0
2 0 1 2
(答)
2/13 - 6/13 5/13 2/13
7/13 5/13 - 2/13 - 6/13
- 8/13 - 2/13 6/13 5/13
2/13 7/13 - 8/13 2/13

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