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Excelの行列計算(1)--行列の積

（最終更新年月日 2022.05.11）

(A)PCにインストールして使うMicrosoft OfficeのExcel 2007(32Bit), 2010(64Bit)など旧型のもの
(B)ブラウザから無料で使えるExcel Online
(C)ブラウザから無料で使えるGoogle スプレッドシート
(D)PCに無料でインストールして使えるwxMaxima

(A)のPC版Excelでは

(1)行列の積を書き込みたい範囲の左上端のセルに=MMULT()関数を使って，２つの行列の範囲を書き込む
(2)積の形の範囲をドラッグして反転表示させる
(3)数式バーと呼ばれる画面上の方のfxという記号の右にある枠内にマウスをポイントしてから，Ctrl+Shift+Enterとする（CTRLキーとShiftキーを押しながら，Enterキーを押す）

(B)のExcel Onlineでは

(1)行列の積を書き込みたい範囲の左上端のセルに=MMULT()関数を使って，２つの行列の範囲を書き込む

(C)のGoogleスプレッドシートでは

(1)行列の積を書き込みたい範囲の左上端のセルに=MMULT()関数を使って，２つの行列の範囲を書き込む

(D)のwxMaximaでは

【例1】

• A1, B1でなければならない訳ではなく，A2, B2のように左右に隣り合っていればよい．
• 同様に，D1〜E2でなければならないことはなく，左右上下に２個ずつ隣り合っていればよい．
• 通常，１つのデータは１つの範囲に書くので，別の行列は，次の例のようにC列を空けて書く方が，「見やすく」「間違いが少なく」なる．

(A)のPC版Excelでは

1. セルG1に =MMULT(A1:B1, D1:E2) と書き込み，Enterキーを押す．
2. これらは，いずれも半角英数字（1バイト文字）で書かなければならない．
3. =MMULT( ) は，慣れてきたら手書きで書き込んでもよいが，Excelの上端にあるメニューの「数式→fx関数の挿入→数学/三角→MMULTと進んでもよい．
   　いきなり，数式バーの左にあるfxをクリックして，→数学/三角→MMULTと進んでもよい．
4. MMULTは，半角であれば大文字でも小文字でもよいが，小文字で書き込んでも大文字に変換される．セル範囲の(A1:B1, D1:E2)も，小文字で書き込んでも大文字に変換される．
5. 元のそれぞれの行列を表す範囲はA1:B1のように，コロン（:）で区切り，範囲と範囲の間をカンマ（,）で区切る．
6. 元のそれぞれの行列を表す範囲は，キーボードを使って書き込んでもよいが，「テキストカレット（テキスト入力の現在位置を示す | が点滅しているもの）が=MMULT(|)となっているときに，マウスでA1からB1までドラッグしてから，カンマを手書きする，マウスでD1からE2までドラッグしてから，Enterキーを押す」とよい．
7. ［重要］
   (1)　以上の作業では，結果の行列のうちで左上端の1つのセルの値が表示されるだけで，積の行列全体はまだ表示されていない．
   一般に，行列の積では，
   [k×m行列]と[m×n行列]の積は[k×n行列]になる この問題では，[1×2行列]と[2×2行列]の積は[1×2行列]になるという事実を知らないと，結果の形に応じた行列はできない．
   (2)　積の形は，G1:H1になると理解した上で，その範囲をドラッグして反転表示させる
   (3)　最後に，数式バーと呼ばれる画面上の方のfxという記号の右にある枠内にマウスをポイントしてから，Ctrl+Shift+Enterとする（CTRLキーとShiftキーを押しながら，Enterキーを押す） ※(3)の操作は，行列の積という結果を１つの配列としてまとめあげるもので，慣れるまで難しいことがある．
   　この作業は，=MMULT()で求めた左上端の成分を結果の形に応じてコピー&ペーストしてもできない．
   
   ■PC版Excelでは，解となる積の形を誤って実際よりも大きな範囲を指定した場合，一般には解でない範囲のセルには#N/A（Not A Number=数値ではない）というエラーメッセージが書き込まれ，分かるようになっている．ただし，積の形が1×n行列の場合やn×1行列の場合に，2×n行列の場合やn×3行列を積の形に指定した場合，値の繰り返しで埋め合わせが行われるので注意．
   ⇒ 次の表のG2,H2のようになる．

   	A	B	C	D	E	F	G	H
   1	2	−3		2	5		−8	7
   2				4	1		−8	7

   ■上記の意味では，PC版Excelで行列の積を計算するには，数学的に正しい結果の形を理解していることが要求されるとも言える．
8. 行列の積を書き込む範囲（今の場合はG1, H1）にすでに何らかのデータが書き込まれている場合，=MMULT( )を実行すると，先に書き込まれていたデータが上書きされて消えてしまう．
9. 上記の方法で，行列の積の結果がG1:H1の書き込まれた後に
   
   1. 左上端以外の要素（ここではH1）を手書きで書き換えようとしても，配列の一部を変更できませんというエラーメッセージが表示され，エラーになる．
   2. 左上端の要素（ここではG1）を手書きで書き換えたり，削除したりしても，同様に，配列の一部を変更できませんというエラーメッセージが表示され，エラーになる．

結果：次の赤字の部分が書き込まれる.
[1×2行列]と[2×2行列]の積で[1×2行列]になる．

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	2	−3		2	5		−8	7
2				4	1

(B)のExcel Onlineでは

1. セルG1に =MMULT(A1:B1, D1:E2) と書き込み，Enterキーを押す．
2. これらは，いずれも半角英数字（1バイト文字）で書かなければならない．
3. =MMULT( ) は，慣れてきたら手書きで書き込んでもよいが，Excel Onlineの上端にあるメニューの「数式→fx関数の挿入→MMULTと進んでもよい．
4. MMULTは，半角であれば大文字でも小文字でもよいが，小文字で書き込んでも大文字に変換される．セル範囲の(A1:B1, D1:E2)も，小文字で書き込んでも大文字に変換される．
5. 元のそれぞれの行列を表す範囲はA1:B1のように，コロン（:）で区切り，範囲と範囲の間をカンマ（,）で区切る．
6. 元のそれぞれの行列を表す範囲は，キーボードを使って書き込んでもよいが，「テキストカレット（テキスト入力の現在位置を示す | が点滅しているもの）が=MMULT(|_)となっているときに，マウスでA1からB1までドラッグしてから，カンマを手書きする，マウスでD1からE2までドラッグしてから，Enterキーを押す」とよい．
7. ［重要］ 一般に，行列の積では，
   [k×m行列]と[m×n行列]の積は[k×n行列]になる が，その事実を知らなくても，Googleスプレッドシートでは，積の左上端のセル番号を決めれば，結果の形に応じた行列となって表示される．
   　したがって，上記の方法で，セルG1に=MMULT(A1:B1, D1:E2) と書き込むと，[1×2行列]となる結果が，G1:H1の範囲に書き込まれる．
8. 行列の積を書き込む範囲（今の場合はG1, H1）にすでに何らかのデータが書き込まれている場合，=MMULT( )を実行すると，先に書き込まれていたデータが上書きされて消えてしまうので，#スピル!というエラーメッセージが表示され，エラーになる．
   
   spill-spilled-spilled（英）, spill-spilt-spilt（米）でこぼれる，あふれるという意味になる･･･高校1年で暗記させられて以来，忘れていた英語：It is no use crying over spilt milk.は「覆水盆に返らず」「後悔先に立たず」などと訳される．
9. 上記の方法で，行列の積の結果がG1:H1の書き込まれた後に
   
   1. 左上端以外の要素（ここではH1）を手書きで書き換えようとしても，#スピル!というエラーメッセージが表示され，エラーになる．
   2. 左上端の要素（ここではG1）を手書きで書き換えたり，削除したりすると，積の結果が（H1も含めて）なくなる

結果：次の赤字の部分が書き込まれる.
[1×2行列]と[2×2行列]の積で[1×2行列]になる．

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	2	−3		2	5		−8	7
2				4	1

(C)のGoogleスプレッドシートでは

1. セルG1に =MMULT(A1:B1, D1:E2) と書き込み，Enterキーを押す．
2. これらは，いずれも半角英数字（1バイト文字）で書かなければならない．
3. =MMULT( ) は，慣れてきたら手書きで書き込んでもよいが，Googleスプレッドシートの上端（3行目）にあるメニューの右から2つ目にあるΣ▼→配列→MMULTと進んでもよい．
4. MMULTは，半角であれば大文字でも小文字でもよい．セル範囲の(A1:B1, D1:E2)は，小文字で書き込んでも大文字に変換される．
5. 元のそれぞれの行列を表す範囲はA1:B1のように，コロン（:）で区切り，範囲と範囲の間をカンマ（,）で区切る．
6. 元のそれぞれの行列を表す範囲は，キーボードを使って書き込んでもよいが，「テキストカレット（テキスト入力の現在位置を示す | が点滅しているもの）が=MMULT(|_)となっているときに，マウスでA1からB1までドラッグしてから，カンマを手書きする，マウスでD1からE2までドラッグしてから，Enterキーを押す」とよい．
7. ［重要］ 一般に，行列の積では，
   [k×m行列]と[m×n行列]の積は[k×n行列]になる が，その事実を知らなくても，Googleスプレッドシートでは，積の左上端のセル番号を決めれば，結果の形に応じた行列となって表示される．
   　したがって，上記の方法で，セルG1に=MMULT(A1:B1, D1:E2) と書き込むと，[1×2行列]となる結果が，G1:H1の範囲に書き込まれる．
8. 行列の積を書き込む範囲（今の場合はG1, H1）にすでに何らかのデータが書き込まれている場合，=MMULT( )を実行すると，先に書き込まれていたデータが上書きされて消えてしまうので，#REF!というエラーメッセージが表示され，エラーになる．
9. 上記の方法で，行列の積の結果がG1:H1の書き込まれた後に
   
   1. 左上端以外の要素（ここではH1）を手書きで書き換えようとしても，無視される
   2. 左上端の要素（ここではG1）を手書きで書き換えたり，削除したりすると，積の結果が（H1も含めて）なくなる

結果：次の赤字の部分が書き込まれる.
[1×2行列]と[2×2行列]の積で[1×2行列]になる．

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	2	−3		2	5		−8	7
2				4	1

	A	B
1	1	3
2	0	2
3
4	1	−1
5	2	3
6
7
8

【例2】
　次の行列の積を，ワークシートのA7〜B8の範囲に書き込んでください．

(B)のExcel Online, (C)のGoogleスプレッドシートの場合は，以上の(1)で完了し，A7:B8の範囲に2×2行列の積が表示される．

　(A)のPC版Excelでは，
(2) 次にA7〜B8の範囲をドラッグして，反転表示にする．
(3) さらに，数式バーにマウスをポイントしてから，Ctrl+Shift+Enterとする（CTRLキーとShiftキーを押しながら，Enterキーを押す）

1.　行列の成分が「小数」であるとき

　Excelなどの表計算ソフトでは，整数や小数を使って作業することがほとんどで，読者も慣れていると考えられるので，ここでは細かな説明は行わずに，表示する小数点以下の桁数を変更する方法のみ示す．

画面上端のメニューを使って「書式→セルの初期設定→数値→小数点以下の桁数」により，小数点以下の桁数を変更できる．

画面上端のメニューを使って「」「」のうちの右側を何回かクリックすると変更できるが（「ユーザー設定→その他の表示形式」から選んでもよい）

画面上端のメニューを使って「.0_←」「.00_→」のうちの右側を何回かクリックすると変更できる（「123_▼」からカスタム数値を選んでもよい）．

　以上の方法で小数点以下の見える範囲を変更できるが，実際には倍精度浮動小数点型(double型)の範囲までが有効な範囲となるようである．
　例えば，数学的には，1/3=0.33333333333333333･･･と無限に続く小数は，上記のメニューを使って小数点以下の桁数を16桁以上にすると，0.333333333333333000のように16桁目以下は丸められて0となる．したがって，実際には10進法で有効数字は15桁程度と考えておくとよい．それ以上の桁は表示されていても，怪しい可能性がある．

2.　行列の成分が
「分数」「無理数」「複素数」「文字式」であるとき

(A)のPC版Excelでは
「（メニューから）書式→セルの書式設定→表示形式：分数→3桁増加」

(B)のExcel Onlineでは
「（メニューの上の段を「ホーム」としておいて）メニューの2段目で中央付近にあるセレクトメニューから「その他の表示形式」→表示形式：分数→3桁増加」を選ぶ

(C)のGoogleスプレッドシートでは
　（分数表示にしたい範囲を選択し，反転表示にしておいてから）「表示形式→数字→カスタム数値形式→# ???/???→適用」を選ぶ
または
「123_▼カスタム数値形式→# ???/???→適用」でもよい．

ア） 整数÷整数で表される分数の分母が3桁以下で「正確な値」になるときは，(A)(B)(C)のどれで行っても，同じ結果が得られる．
イ） 整数÷整数で表される分数を「正確な値」として表示するための分母の桁数よりも，(A)(B)(C)で指定する分母の桁数が少ない場合，
多くの場合に(A)(B)(C)は「その桁数で表すことのできる最良の近似分数」として同じ分数を示すが，
食い違いがある場合は，(C)の方がよい値を示しているようである． なお，(A)(C)は分母の整数の桁数を4桁，5桁･･･と増やすことができるが，(B)は「ユーザー定義の表示形式の作成は，現在webバージョンのExcelではサポートされていません」となっているので，4桁以上に変更することはできない．

• 空欄をキーボードを使って埋めて行く．マウスでポイントして空欄を移動してもよいが，タブキーを使って次のセルに移動してもよい．
• 数学と違って，2xは，アスタリスクを使って2*xなどと書く点が注意．その他，累乗や割り算は表計算ソフトと同様に2^(x+1), x/yなどと書く．

● ここから下は，筆者独自の考えを述べたもので，どこか他の記事で確かめられるものではない．
● 怪しい話，眉つばものかもしれないとお考えの方は，読み飛ばしてください．

《要点》
　(A)PCにインストールして使うExcelや(B)Excel Onlineで数値の分数表示を選ぶとき「1桁増加」「2桁増加」「3桁増加」という書式を選ぶことになるが，この「増加」はたぶん誤訳で「1桁まで」「2桁まで」「3桁まで」と書く方がよい．

《要点》
　分数や小数を分母の桁数を限った整数÷整数の分数で近似する場合，上記の(A)(B)よりも(C)の方が最良近似となっていることが多い．

(1) 具体例で問題点を示す

（A)(B)では，
5/6(≒0.8333333333･･･)となり，真の値xとの差の絶対値は，0.01282051282･･･
(C)では
6/7(≒0.8571428571･･･)となり，真の値xとの差の絶対値は，0.01098901099･･･

（A)(B)(C)とも，
3 1/7, 3 16/113となり，近似値は同じになる．（仮分数ではなく帯分数で示される）

（A)(B)では，
2 72/305(≒2.236065574･･･)となり，真の値xとの差の絶対値は，0.000002403729298･･･
(C)では
2 233/987(≒2.236068896･･･)となり，真の値xとの差の絶対値は，0.0000009181435741･･･

(2) 小数を分数に直す方法

(3) M社とG社で異なる近似分数となる幾つかの例

(1) 17/14　（1桁）
(2) 19/17　（1桁）
(3) 110/107（2桁）
(4) 101/110（2桁）
(5) 　 （4桁）
(6) 　（3桁）

　(5)は4桁なので，現在Excel onlineではできない．(6)は(A)(B)(C)とも同じ結果になる．
　以下は，(C)のGoogle スプレッドシートで得られる結果です．
　2桁程度なら，前述の方法で筆算でもできる．
(1) 1 2/9 , (2) 1 1/9 , (3) 1 2/71 , (4) 56/61 ,
(5) 4 2889/6119 , (6) 8 163/302 →解答を隠す←