■関数の連続性携帯版
【連続の定義】
  1変数xの関数y=f(x)が,x=aにおいて連続であるとは,次の3つの条件が満たされることをいいます
(1) 関数値f(a)が存在すること
(2) 極限値f(x)が存在すること
(3) (1)(2)が等しいこと

右図の○で示した極限値
f(x)は,正確にはx
aでない値をとりながらaに限りなく近づくときの目標値を表しており,aの周辺での関数のグラフの様子に対応しています.この極限値は,関数値f(a)とは無関係に定義されるところが重要です.

右図の●で示した関数値f(a)は,xaを代入したときの値です.

これらの,○と●が一致するときに,x=aにおいてグラフが「つながる」ことになり,「連続」であるといいます.
【例】
(1) f(x)= x2x≠0のとき)
1x=0のとき)
によって定義される関数f(x)については,
(1) 関数値はf(0)=1
(2) 極限値はf(x)=x2=0
であるが,(1)(2)が等しくないのでx=0において不連続です.
(2) f(x)= x≠0のとき)
1   (x=0のとき)
によって定義される関数f(x)については,
(1) 関数値はf(0)=1
(2) 極限値はf(x)
==1

となり,(1)(2)が一致するのでx=0において連続です.

※正しい番号をクリックしてください.
平成16年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-3

関数f(x)= x≠0のとき)
a   (x=0のとき)
に関して,次の命題のうち正しいものはどれか.
1a=0のとき,f(x)は連続となる.
2a=1のとき,f(x)は連続となる.
3aの値にかかわらず,f(x)は連続となる.
4aの値にかかわらず,f(x)は連続でない.
5aの値にかかわらず,f(x)の連続性の判定はできない.

○この頁に登場する【問題】は,公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です.(=公表された著作物の引用)

○【解説】は個人の試案ですが,Web教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます.
 問題や解説についての質問等は,原著作者を煩わせることなく,当Web教材の作成者(<浅尾>)に対して行ってください.

【2変数関数における連続の定義】
  2変数x, yの関数z=f(x, y)が,(x,y)=(a,b)において連続であるとは,次の3つの条件が満たされることをいいます
(1) 関数値f(a,b)が存在すること
(2) 極限値f(x,y)が存在すること
(3) (1)(2)が等しいこと
ただし,(2)においてf(x,y)(x,y)(a,b)間の距離が0
に近づくときの極限を表すものとします.
近づき方によっては,極限が必ずしも一致しないので,どんな近づき方をしても一つの値に近づくときに極限値があるという.その判断は2点間の距離が0に近づく場合にどうなるかで行えばよい.
【例】
f(x,y)=によって定義される関数f(x,y)について
(x,y)(0,0)に近づくときの極限値を調べる.
(x,y)(0,0)の距離をrとおくと
x=r cosθ, y=r sinθ
f(x,y)==2cos2θ
(1) θ=0のとき(y=0, x=tのとき)f(x,y)→2
(2) θ=のとき(y=x=tのとき)f(x,y)→1
(3) θ=のとき(x=0, y=tのとき)f(x,y)→0
となるから,(近づき方の角度θによって極限が変わるので)
極限値f(x,y)が存在せず,
f(0,0)の値がどのように 定義されていても,関数(x,y)(0,0)において不連続となります.


平成17年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-8

 次の2変数関数f(x,y)に対して,f(0,0)=0と定義する.このとき,点(0,0)で連続とならないものはどれか.
1f(x,y)= 2f(x,y)=
3f(x,y)= 4f(x,y)=
5f(x,y)=

平成18年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-8

 極限__は,次のどれか.
10 21 32 4π 5

平成19年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-9

 極限__は,次のどれか.
1−1 2 30 4 51

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