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［解説］ ● ベクトルのなす角 ２つのベクトル● ベクトルの内積の定義 ２つのベクトル ［例］ ● 右図のように|  |=2， | |=3， θ=60°のとき・ = ２・３・cos60°= 3● 右図のように| |=1， ||=2， θ=90°のとき・ = 1・2・cos90°= 0 (cos90°=0)● 右図のように| |=2， ||=1， θ=180°のとき・ = 2・1・cos180°= -2● =(1， 2)， =(3， 4) のとき・ = 3 + 8 = 11● =(-2， 3)， =(5， 1) のとき・ = -10 + 3 = -7 |
 左の定義において，(1)は矢印で表される図形ベクトルに対応し，(2)は成分表示に対応しますが， (1)を定義にすれば(2)が導かれます。・・・●4    |
［参考］●1 ベクトルのなす角(入試問題読み物) |
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・２つのベクトルのなす角は，０°≦θ≦180°の範囲で定められます。これは，三角関数のときに登場する「動径のなす角」や「複素数のなす角」と異なる独特の約束です。むしろ，小中学生が180°までしか測れない分度器を持たされている場合と同じです。 ・1980年代に，次のような入試問題を見かけたことがあります。(引用元の表示については，御容赦下さい。) 「ベクトル |
大学から示された解答は |β-α|
ということでしたが，筆者の考える解答は下記のとおりですので参考にして下さい。
ｘ軸で分割される２つの領域(y>0，y<0)について
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| ・手元に，大手三社の平成１７年度版教科書がありますが，ベクトルの内積を・ = ||・||cosθ と定義する理由・事情・補足説明的なものは何もありません。
・ | |記号で何割かの生徒が，cosθでさらに何割かの生徒が「違和感」を持ってしまうようですので，「不自然でない導入」が必要な箇所です。 ・５分以内でできて(「高級な説明」を15分もすれば誰も聞かなくなるでしょう・・・)，それなりに違和感を取り除ける説明として， 「２つのベクトルのかけ算で，・以上で５分間程度で切り上げて，速攻で初歩的例題に突入するのがおすすめ。 |
・R2×R2→R の写像の内，についてもについても線型となるものというのが数学的に重要なポイントだと思われますが，ちらりとでも触れるのは完全に高校の範囲を超えてしまうのが，どの教科書も触れられない理由かも。しかし，その結果として，頭ごなしの導入となってしまう弱点はあります。 ・力・移動で仕事量と結びつけるとストレートに意味づけできますが，物理を習わない生徒の方が多いので一層話が通じません。何よりも，数学は物理で定義されるわけではないというのが致命的かも。 違和感の中身 ｓｉｎθやtanθもあるのになぜcosθだけを使うのか？ 要するに「他にも定義の仕方はあるはずなのに，なぜこのような変な式を定義にするのか」というのが違和感。そこで，他の定義では役に立たないことを言えば(宣言しているだけ)，少しは納得？ |
(1) 内積は数字であって，ベクトルではない。例(2) ３つのベクトルの積というものは，考えない。 例(3) ベクトルの割り算は，高校にはない。しかし，ベクトルの内積は数字なので，内積で割ることはできる。 例(4) ２つのベクトルの積がベクトルになる定義もあるが，外積と呼ばれ × と書かれるので，これと区別するためにも単なるかけ算ではなく，内積は・ と書かなければならない。(5) ２つのベクトルの”単なる積"というものは考えないので， 2 のような記号は使わない。(内積か外積か不明) 必要ならば・ と書く。 |
・ = ||・||cosθ・・・(1) → ・ = a1b1+a2b2・・・(2) の証明
| 教科書において，この証明は余弦定理を用いて両辺を比較する方法で行われるのが普通ですが，ここでは，式を目で追うことが苦痛でない証明を示してみます。 右図のように，ｘ軸方向，ｙ軸方向の基本ベクトルを  ， とすると，=(a1，a2)， =(b1，b2)は基本ベクトルを用いて，a1+a2，b1+b2と表せるので，
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=
=
＜・・・ない
＜・・・ない， 
＜・・・○， 