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== 2次式の因数分解 ==(例題→選択問題)

【解説】
※ [1]〜[IV]の公式は中学校の復習となっているが,高校では「置き換え」による因数分解などやや高度なものも含まれている.

共通因数でくくる
[I]  ma+mb=m(a+b)
[I]の例
(1)__________(2)
5x2y+20xy2=5(x2y+4xy2)=5xy(x+4y)
注意
 途中経過として(1)のような式を書くのは自由である(解答者が思いついた順序によっては xy(5x+20y) など他の形となる場合もあり得る)が,最終形は(2)の形にしなければならない.
 つまり,共通因数は全部くくり出さなければならず,最終形にまだ共通因数が残っているような形では正解とならない.
a+b のような「式が共通因数」となることもある.
(a+b)x2(a+b)x=(a+b)(x2−x)=(a+b)x(x−1)

b−a=−(a−b) だから,次の式は共通因数でくくれる.
(a−b)x+(b−a)y=(a−b)x−(a−b)y=(a−b)(x−y)
一般に,引き算の順序が逆になっているものは「同じ因数で符号だけが逆」になる. y−x=−(x−y) など

※共通因数でくくる変形は「公式を用いる因数分解よりも先に行う」方がよい.

そのままの形では○2−□2の形に見えないが,共通因数でくくると分かるもの
2x3−50x=2x(x2−25)=2x(x+5)(x−5)

【問題1】 次の式を因数分解せよ. (正しいものをクリックせよ.)
(1) 3x2−x
2x2x2x(3x−1)3x(x−1)
(2) 6ax2−3axy
⇒  3(2ax2−axy)x(6ax−3ay)

_3a(2x2−xy)3ax(2x−y)6ax(x−y)
(3) (a+2b)x−(a+2b)y
⇒  (a+2b)(x+y)(a+2b)(x−y)

______(a−2b)(x+y)(a−2b)(x−y)
(4) a(x−y)+y−x
⇒  (x−y)(a+1)(x−y)(a−1)

______(y−x)(a+1)(y−x)(a−1)

【解説】
[II]  a2+2ab+b2=(a+b)2
[III]  a22ab+b2=(a−b)2
[IV]  a2−b2=(a+b)(a−b)
[II]の例
9x2+6x+1=(3x)2+2·(3x1+12=(3x+1)2
■ 両端の式 3x , 1 を先に見ること.最後に中央の項がそれらの積の 2 倍になっていれば( )の2乗としてよい.
■ 前から順に見ていくと失敗することが多い.

[III]の例
4x2−12xy+9y2=(2x)22·(2x)·(3y)+(3y)2=(2x3y)2

■ 次のような式は,中央の項が両端として考える1次式の積の 2 倍になっていないので( )の2乗とはならないので注意すること.
4x26xy+9y2
x2+x+1
[IV]の例
4x2−9y2=(2x)2−(3y)2=(2x+3y)(2x3y)
3x2−12=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)
■公式を考える前に共通因数でくくっておく.

【問題2】 次の式を因数分解せよ. (正しいものを選べ.)
(2) 9x2−24xy+16y2
⇒ 9(x+4y)29(x−4y)22乗にならない

_ (3x+4y)2(3x−4y)2(3x−8y)2
(3) x2−2xy+4y2
⇒  (x−2)2(x−2y)2

_(x−4)2(x−4y)22乗にならない

【解説】
[V]  x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
[V]の例
x2+5x+6=x2+(2+3)x+2·3=(x+2)(x+3)
■ このような問題では,
「最初に」2数の積が 6 になる組を考えること.
  1と6の組,2と3の組 が考えられる.
「次に」それらのうちで2数の和が 5 になる組を採用する.
  1と6の組 → 1+6=7 × ,2と3の組 → 2+3=5 ○
こうして,(x+2)(x+3) を答えにする.
※「最初に」2数の和が5になる組を考えると,いくらでもあるから絞りきれない.
x27x+12=x2+(−4−3)x+(−3)·(−4)=(x−3)(x−4)
■ 積が正の数12で,和が負の数−7となる2数は「負の数」と「負の数」の組で探す.
x2+2x−15=x2+(−3+5)x+(−3)·(5)=(x−3)(x+5)
■ 積が負の数−15となる2数は「負の数」と「正の数」の組で探す.
そのうちで,和が2となるのは「正の数」が強い方となる

【問題3】 次の式を因数分解せよ. (正しいものを選べ.)
(1) x2+14x+24
⇒  (x+3)(x+8)(x+4)(x+6)

(x+2)(x+12)(x+2)(x+7)

【解説】
分数や無理数が係数になっているときでも,xの係数が和になり,定数項が積になるような2数を探せば同じようにできます.
の因数分解
(解答)
積が
和が2となる2数は
だから
の因数分解
(解答)
積が,和がとなる2数は, だから

【問題4】 次の式を因数分解せよ. (正しいものを選べ.)

【解説】
[VI]  acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

■この因数分解は「たすき掛け因数」と呼ばれるが,公式を暗記しても問題は解けない.次の例のように,2つずつ組み合わせて「中央の項」が一致するまで「いろいろ試してみる」しかない.
[VI]の例
2x2+5x+3
x2 の係数として,掛けて 2 になる組は 12 だから
(1x+…)(2x+…) の形になる.
定数項の部分は,掛けて 3 になる組は 13 だから
(…+1)(…+3) の形になる.
それらの組合せは,
  (1x+3)(2x+1) …(ア) と
  (1x+1)(2x+3) …(イ)
(ア)は,
  ···x2+(1·1+3·2)x+···=···x2+7x+··· になり,合わない
(イ)は,
  ···x2+(1·3+1·2)x+···=···x2+5x+··· になり,合う
(イ)より,(x+1)(2x+3) …(答)
■上の(ア)(イ)において x2 の係数と定数項は,「初めから合う組合せだけ」を使っているから,書かなくても合う.そこで「1次の係数」だけに集中してこれを合わせるようにする.

■これらのかけ算を縦書きで書くと次のようになる.ただし,2次,定数項,1次の順に書く.
■実際の計算は次のように書くので,「たすき掛け」因数分解と呼ぶ
■このように,考えられる組合わせを順に検討していき「1次の係数」が合ったとき「答」にする.
■これらの計算はすべて「1次の係数」が合うか合わないかを調べるためのものである.

【問題5】 次の式を因数分解せよ. (正しいものを選べ.)
※ 途中計算は各自で上図のように行うこと.
(1) 5x2+7x−6
⇒  (5x+3)(x−2)(5x−3)(x+2)

(5x+2)(x−3)(5x−2)(x+3)
(2) 6x2−13x−5
⇒  (2x−1)(3x+5)(2x+1)(3x−5)

(2x+5)(3x−1)(2x−5)(3x+1)


■[個別の頁からの質問に対する回答][2次式の因数分解について/18.6.29]
分かりやすくていいと思います
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][2次式の因数分解について/17.12.09]
問題数を増やして欲しいです!
=>[作者]:連絡ありがとう.1つのページに問題を詰め込んであるよりも,必要に応じて様々な問題ができるように,いくつかのページに分けてあります.先頭のサブメニューから,前のまたは後ろのページを選んで,前後の教材を見てください.
■[個別の頁からの質問に対する回答][2次式の因数分解について/17.8.9]
問題5(1)の解説で「先頭5と末尾-24」とありますが、末尾の24という数字はどこから来ているのでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.確かに変です.
今となっては,なぜ間違ったのか,正確には分かりませんが,コメントをプログラムで書いていた時に,うっかり書くと小学生でも間違わない次のような間違いが起こることがあります.
1+1=11, 1+2=12, ..., 2+4=24 (数字の演算ではなく,文字列の追加となっている)
訂正しました.

[注]直前にPC版から入られた場合は,自動転送でスマホ版に来ていますので,ブラウザの[戻るキー]では戻れません(堂々巡りになる).下記のリンクを使ってメニューに戻ってください.
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