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== ベクトルのなす角 ==

【要約】
2つのベクトルの成分がのように与えられているとき,内積の定義

において,


のように求めることができるから,これらを使って
…(1)
のように角θの余弦を計算することができる.

○さらに,次の角度については筆算の場合でも,cos θの値から角θが求まる.
0
1 0 −1
○通常の場合,これ以外の角度については,コンピュータや三角関数表によらなければ角θの値は求められない.
【例】
と計算できれば(またはθ=60°)と答えることができる.
この角度は「結果を覚えているから答えられる」のであって,次の例のように結果を覚えていない角度については,このようには答えられない.
【例】
となった場合,高校では逆三角関数を扱わないのでθ=...の形にはできない.
そもそも,ベクトルの成分と角θをつなぐ公式(1)は

ではなく

の形をしており,cos θの値までしか求まらない.
このような問題では,必要に応じて「θとなる角」などと文章で答えます.
【例題1】
=(, 1) ,=(0 , 2) のとき , のなす角θ を求めなさい。(度で答えよ)
(答案)
||==2
||==2
· =·0+1·2=2 だから,cosθ =
θ=60° …(答)
【例題2】
=(1 , 2) ,=(−1 , 3) のとき , のなす角θ を求めなさい.(度で答えよ)
(答案)
||==
||==
· =1·(−1)+2·3=5 だから, cosθ =
θ=45° …(答)
【例題3】
=(1 , 1) ,=(1 , 2) のとき , のなす角をθとするとき,cosθ の値を求めなさい.
(答案)
||==
||==
· =1·1+1·2=3 だから cosθ = …(答)


【問題】
(1) 2つのベクトルのなす角を求めてください.(答は度で)
30° 45° 60° 90° 120°
(2) 2つのベクトルのなす角を求めてください.(答は度で)
30° 45° 60° 90° 120°
(3) 2つのベクトルのなす角を求めてください.(答は度で)
45° 60° 90° 120° 135° 150°
(4) 2つのベクトルのなす角を求めてください.(答は度で)
45° 60° 90° 120° 135° 150°
(5) 2つのベクトルのなす角をθとするとき,cosθの値を求めてください.


【ベクトルの垂直条件】…(直交条件)
, のとき,

※垂直(直角,90°)は1つの角度に過ぎませんが,実際に出会う問題は垂直条件(直交条件)を求めるものの方が多いので,この公式は重要
(解説)
 · =0←→cosθ=0←→θ=90°
(参考)
大学では,内積が0になる場合は= , =の場合も含めて,「垂直」「直交」と定義しますが,
高校では零ベクトルの向きは考えないことになっていますので,「2つのベクトルが垂直である」というためには
」だけでなく「 , 」も示すのが建前です.
ただし, , として(0 , 0)以外の定数の成分が与えられているとき,それが零ベクトルでないことは自明ですので,
, 」の断り書きは省略できます.
【例題4】
=(1 , 2) ,=(t , 1) のとき , が垂直となるように定数 t の値を定めなさい.
(答案)
· =1·t+2·1=t+2=0 よりt=−2…(答)


【問題】
(1) 2つのベクトルが直交するように定数xの値を定めてください.
−6 −3 −2 2 3 6
(2) 2つのベクトルについて,が直交するように定数xの値を定めてください.
−1 −2 −3 ±1 ±2 ±3


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■[個別の頁からの質問に対する回答][ベクトルのなす角について/17.1.8]
図形など図があればもっといいと思う
=>[作者]:連絡ありがとう.現在筆者は次のように整理しています.
(1) 高校数学で習うベクトルには,図形で表される「矢印ベクトル」と成分で表示される「成分ベクトル」とがあります.ベクトルのなす角というのは図形的な意味ですが,実際には成分計算だけでできることに慣れるというのが第1の目標です.
(2) 3次元,4次元,5次元・・・今日では中学生でも多次元のデータを扱っていますが,そう言わないだけです.
生徒名x(国語)y(数学)z(英語)
a232
b523
c314
d352
e・・・・・・・・・
f445
左の表で生徒ごとの3教科の得点傾向が似ているかどうかを判断するには,行ベクトルなどの個人ごとの「3次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかで見るのが1つの方法です.また,教科ごとの得点傾向が似ているかどうかを判断するには,列ごとに見たベクトルなどの「6次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかになります(左の表で6次元というのは縦に6個の数字が並んでいるから:6人だから).
このようにして,実生活で扱うデータのほとんどは多次元ベクトルに対応しており,図を使わずに大きな数値の表だけを見て「ベクトルのなす角」という夢を見る能力が必要となります.(この頁参照)
(3) ご質問の頁は2次元ベクトルを扱っていますので,図を描こうと思えば描けますが,図があっても問題が解けるわけではありません.次のような意味合いで,1つや2つは図があってもよいとは思います.
 3.1) 答が2つあって迷うような場合とか,方程式で求めた値に対して実際には図が描けないような場合に,図で検証することができる.
 3.2) 文字ばかりの教材では暑苦しいが,ワンポイントの図があればリラックスでき,結果的に学習が進む.