【要約】
2つのベクトルの成分がのように与えられているとき,内積の定義 において, のように求めることができるから,これらを使って …(1) のように角θの余弦を計算することができる. ○さらに,次の角度については筆算の場合でも,cos θの値から角θが求まる.
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【例】 と計算できれば(またはθ=60°)と答えることができる.
この角度は「結果を覚えているから答えられる」のであって,次の例のように結果を覚えていない角度については,このようには答えられない.
【例】となった場合,高校では逆三角関数を扱わないのでθ=...の形にはできない.
そもそも,ベクトルの成分と角θをつなぐ公式(1)は
このような問題では,必要に応じて「θはとなる角」などと文章で答えます.
ではなく の形をしており,cos θの値までしか求まらない. |
【例題1】
(答案)のとき2つのベクトルのなす角θを求めなさい。(度で答えよ) だから θ=60° …(答) |
【例題2】
(答案)のとき2つのベクトルのなす角θを求めなさい。(度で答えよ) だから θ=45° …(答) |
【例題3】
のとき,2つのベクトルのなす角をθとするとき,の値を求めなさい. |
(答案) だから …(答) |
【問題】 ,だから θ=45°…(答) |
,だから θ=60°…(答) |
,だから θ=135°…(答) |
だから θ=90°…(答) |
,だから …(答) (※この問題では,角度までは求まりませんが,cosθの値は求められます) |
【ベクトルの垂直条件】…(直交条件)
のとき,
※垂直(直角,90°)は1つの角度に過ぎませんが,実際に出会う問題は垂直条件(直交条件)を求めるものの方が多いので,この公式は重要
(解説)
(参考)
大学では,内積が0になる場合はの場合も含めて,「垂直」「直交」と定義しますが, 高校では零ベクトルの向きは考えないことになっていますので,「2つのベクトルが垂直である」というためには だけでなく も示すことになっています. ただし,として(0 , 0)以外の定数の成分が与えられているとき,それが零ベクトルでないことは自明ですので,「」の断り書きは省略できます.
【例題4】
(答案)のときが垂直となるように定数tの値を定めなさい.
よりt=−2…(答)
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【問題】 より x=−6…(答) より x=±1…(答) |