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■1  接線の方程式
《要点》
■1
(1) 楕円
+=1

上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は
+=1 …(1)

(2) 双曲線
=1

上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は
=1 …(2)

(3) 放物線
y2=4px
上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は
y1 y=2p(x+x1 ) …(3)

《なんとなく規則性》
元の方程式 x2 → 接線では積にする x1x
元の方程式 2x → 接線では和にする x+x1
【解説】
(1)
+=1 の両辺を x で微分すると

+=0 より =− となるから

接線の傾きは 

接点 P(x1 , y1) における接線の方程式は

y−y1=−(x−x1)

a2y1y−a2y12=−b2x1x+b2x12

a2y1y+b2x1x=b2x12+a2y12

+=+

ここで,接点 P(x1 , y1) は楕円上の点だから

+=1

を満たす.よって,
+=1 → (1)

(2)
=1 の両辺を x で微分すると

=0 より = となるから

接線の傾きは 

接点 P(x1 , y1) における接線の方程式は

y−y1=(x−x1)

a2y1y−a2y12=b2x1x−b2x12

b2x1x−a2y1y=b2x12−a2y12

=

ここで,接点 P(x1 , y1) は双曲線上の点だから

=1

を満たす.よって,
=1 → (2)
(続く→)



 【復習:陰関数の微分法(数学 III)】
曲線の方程式が
ax2+by2=1 …(A)
のように,y=... の形でなく,x , y の関係式の形で表わされているものを陰関数という.陰関数で表示された関数の導関数を求めるには,陰関数の微分法を用いる.
 例えば,(A)において導関数を求めるには,そのまま両辺を x で微分するとよい.その際,y の関数 y2x で微分するためには,合成関数微分法を用いる:
=

これにより,
(y2)=(y2)=2y

(A)の両辺を x で微分すると
2ax+2by =0

となり, = −

が求まる.(このような場合,導関数は xy も用いて表わす.)

(→続き)
(3)
y2=4px の両辺を x で微分すると

2y =4p より = となるから

接線の傾きは 

接点 P(x1 , y1) における接線の方程式は

y−y1=(x−x1)

y1y−y12=2px−2px1

y1y=2px+y12−2px1

ここで,接点 P(x1 , y1) は放物線上の点だから
y12=4px1

を満たす.よって,
y1y=2px+2px1=2p(x+x1) → (3)
《基本事項のチェック》

(1) 楕円 +=1 上の点 P(1, ) における接線の方程式は

+=1

x+2y=4

(2) 双曲線 =1 上の点 P(, ) における接線の方程式は

=1

2x−3y=18
(3) 放物線 y2=4x 上の点 P(1 ,−2) における接線の方程式は

−2y=2(x+1)
x+y+1=0
 問題 
 
(1) 楕円 +=1 上の点 P( ,−) における接線の方程式は
x−y=16
(2)
  双曲線 =1 上の点 P(2 , ) における接線の方程式は
x− y=3
(3)
 放物線 y2=12x 上の点 P(3 ,−6) における接線の方程式は
x+y+=0

採点する やり直す 解説
  

■2  極線の方程式
  ※極線という用語は,高校の教科書にはない.入試問題などで,極線という用語を使わずに,その内容が問われることはある.

(1)
《要約》
P(x0 , y0) が楕円
+=1

外の1点であるとき,
+=1 …(4)

は,点 P(x0 , y0) から引いた2つの接線の接点を結ぶ直線となる.

(解説)
 点 P(x0 , y0) が楕円外の1点であるとき,
+=1

は,接線を表わさない
 この直線は,右図のように点 P(x0 , y0) から引いた2つの接線の接点を結ぶ直線となり,点 P(x0 , y0) を極とする極線と呼ばれる.


《特別に円の場合》
P(x0 , y0) が円
x2+y2=r2
外の1点であるとき,
x0x+y0y=r2
は,点 P(x0 , y0) から引いた2つの接線の接点を結ぶ直線となる.
《証明》
■1(1)で述べた通り,点 (x1 , y1) が楕円上の1点であるとき,

+=1 …(B)

は,点 (x1 , y1) における接線の方程式を表わす.
 同様にして,点 (x2 , y2) が楕円上の1点であるとき,

+=1 …(C)

は,点 (x2 , y2) における接線の方程式を表わす.
 (B)(C)の交点を (x0 , y0) とすると,

+=1 …(D)

+=1 …(E)

が成り立つ.
 ここで,直線
+=1 …(F)

を考えると,(D)(E)は2点 (x1 , y1) , (x2 , y2) が直線 (F)上にあることを示している.
したがって,(F)は2つの接点を通る直線となる.
同様にして,次が成り立つ.
(2)
P(x0 , y0) から双曲線

=1

に2本の接線がひけるとき,

=1 …(5)

は,点 P(x0 , y0) から引いた2つの接線の接点を結ぶ直線となる.


(3)
P(x0 , y0) から放物線
y2=4px
に2本の接線がひけるとき,
y0y=2p(x+x0) …(6)
は,点 P(x0 , y0) から引いた2つの接線の接点を結ぶ直線となる.

 問題 
(1)
 点 (3 , 4) から円 x2+y2=4 にひいた2つの接線の接点を結ぶ直線の方程式を求めよ.
x+y=4

(2)
(4 , 3) から楕円
+=1

にひいた2つの接線の接点を結ぶ直線の方程式を求めよ.  
x+y=12


採点する やり直す 解説

■3  2次曲線の接線の平行移動
■1
(1) 楕円
+=1

上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は

+=1 …(7)

(2) 双曲線
=1

上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は
=1 …(8)

(3) 放物線
(y−t)2=4p(x−s)
上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は
(y−t)(y1−t)=2p{ (x−s)+(x1−s) }) …(9)

《なんとなく規則性》
元の方程式 (x−p)2 → 接線 (x−p)(x1−p)
元の方程式 2(x−p) → 接線 (x−p)+(x1−p)
 
 【解説】・・・グラフと接点を原点を中心とするグラフに戻す→接線の方程式を求める→接線を平行移動する
  (1) グラフと接点を x 方向に −p 方向に −q だけ平行移動すると,
接点 (x−p , y−q)
楕円 +=1 上にあるから

接線(1)’の方程式は +=1

この接線を x 方向に py 方向に q だけ平行移動すると 接線(1)の方程式は

+=1

になる.
(2)も同様に求められる.
(3)
グラフと接点を x 方向に −sy 方向に −t だけ平行移動すると,
接点 (x−s , y−t)
放物線 y2=4px 上にあるから
接線(3)’の方程式は (y1−t)y=2p(x + x1−s)
この接線を x 方向に sy 方向に t だけ平行移動すると 接線(3)の方程式は (y1−t)(y−t)=2p{ (x−s)+ (x1−s)}

になる.
例題
(1) 放物線 (y−2)2=4(x−3) 上の点 (4 , 4) における接線の方程式を求めよ.

答案
(4−2)(y−2)=2{ (x−3)+(4−3) }
2(y−2)=2(x−2)
y=x
 問題 
(1)
楕円
+=1

上の点 P(0 , ) における接線の方程式は

x+y=


(2)
双曲線
=−1

上の点 P(7 , 2−1) における接線の方程式は

x−y=+



採点する やり直す 解説
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