■積で表される関数の導関数は，
で定義されます。
■ここで，本来の導関数の定義： に当てはめて，この式をｆ’(x)やｇ’(x)を用いて表したいとき，
f(x+h)g(x+h)
- f(x)g(x)
の形
では２つの関数が同時に変化しているので，f’やg’に結びつけられません。
右のイメージ図のように，一度に１つの関数だけが変化するように，「つなぎ」の材料を引いて足す(引いて足せば元の式に等しい)という操作をします。
■右図（緑）の経路を考えると，
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)
={ f(x+h)-f(x)}
g(x+h)+f(x) { g(x+h)-g(x)}
となり，ｈ→0の極限移行により，
積の導関数の公式
y
= f(x)g(x) のとき
y’
= f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
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■青の経路から行けば，分子は
f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)
=f(x+h){
g(x+h)-g(x)
}
+ { f(x+h)-f(x)
} g(x)
となり，ｈ→0の極限移行により，
f’(x)g(x)+f(x)g’(x)
■３つ以上の関数の積になっているときは，２つのときの公式を繰り返し適用すればできます。
y = f(x)g(x)h(x) のとき
y’ = {f(x)g(x)}’h(x)
+ f(x)g(x)h’(x)
={ f’(x)g(x)+f(x)g’(x)
} h(x) +f(x)g(x)h’(x)
=f’(x)g(x)h(x)+f(x)g’(x)h(x)
+f(x)g(x)h’(x)
・・・「こぶ」は１つずつです。
※このh(x)はlimのｈとは関係ありません。
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